Page 42 - 《应用声学》2024年第6期
P. 42

1218                                                                                2024 年 11 月

             附录A


                 针对 3.2 节的步骤 6,根据式 (53) 对辅助变量 v       (t+1)  进行求解。定义式 (53) 中的代价函数为 F(v) = ψ        (t+1) ||v|| 2 +
             ρ      (t+1) 2
              ||v − Γ v  || 2 ,令 F(v) 对向量 v 的一阶导数为 0,即:
             2
                                           ∂F(v)    (t+1) ∂||v|| 2    (t+1)
                                                 = ψ          + ρ(v − Γ v  ) = 0,                        (A1)
                                            ∂v           ∂v
                                                   
                                                     v/||v|| 2,  v ̸= 0 U ,
                                                                                   U
             式 (A1) 中,对 ℓ 2 范数求一阶导数,可得     ∂||v|| 2  =                   其中 0 U ∈ R 为全零列向量。
                                            ∂v       {G G G|||G G G|| 1 6 1}, v = 0 U ,
                 因此,求解式 (A1) 可分为如下两种情况:
                 (1) 若 v ̸= 0 U ,则式 (A1) 可以表示为

                                                [1 + ψ (t+1)  /(ρ||v|| 2)]v = Γ v (t+1) .                (A2)

                              (t+1)
             ∃ Υ > 0,使得 v = ΥΓ v  ,代入式 (A2) 得到:
                                           ˆ      (t+1)    (t+1)     (t+1)
                                           Υ = (||Γ v  || 2 − ψ  /ρ)/||Γ v  || 2 > 0.                    (A3)
                    ˆ  (t+1)  (t+1)     (t+1)     (t+1) || 2 ̸= 0。
             此时 v = ΥΓ v   ,||Γ v  || 2 > ψ  /ρ 且 ||Γ v
                 (2) 若 v = 0 U ,则式 (A1) 可以表示为

                                             (ψ (t+1) /ρ)G G G = Γ v (t+1) , s.t. ||G G G|| 1 6 1.       (A4)

                            (t+1)     (t+1)
             此时 v = 0 U ,且 ||Γ v  || 2 6 ψ  /ρ。
                                        
                                           (t+1)  ˆ    (t+1)
                                          Γ v  [Υ] +, ||Γ v  || 2 ̸= 0
                 根据上述推导,可得 v      (t+1)  =                      。
                                                       (t+1)
                                          0 U ,     ||Γ v  || 2 = 0
                                        
   37   38   39   40   41   42   43   44   45   46   47