Page 42 - 《应用声学》2024年第6期
P. 42
1218 2024 年 11 月
附录A
针对 3.2 节的步骤 6,根据式 (53) 对辅助变量 v (t+1) 进行求解。定义式 (53) 中的代价函数为 F(v) = ψ (t+1) ||v|| 2 +
ρ (t+1) 2
||v − Γ v || 2 ,令 F(v) 对向量 v 的一阶导数为 0,即:
2
∂F(v) (t+1) ∂||v|| 2 (t+1)
= ψ + ρ(v − Γ v ) = 0, (A1)
∂v ∂v
v/||v|| 2, v ̸= 0 U ,
U
式 (A1) 中,对 ℓ 2 范数求一阶导数,可得 ∂||v|| 2 = 其中 0 U ∈ R 为全零列向量。
∂v {G G G|||G G G|| 1 6 1}, v = 0 U ,
因此,求解式 (A1) 可分为如下两种情况:
(1) 若 v ̸= 0 U ,则式 (A1) 可以表示为
[1 + ψ (t+1) /(ρ||v|| 2)]v = Γ v (t+1) . (A2)
(t+1)
∃ Υ > 0,使得 v = ΥΓ v ,代入式 (A2) 得到:
ˆ (t+1) (t+1) (t+1)
Υ = (||Γ v || 2 − ψ /ρ)/||Γ v || 2 > 0. (A3)
ˆ (t+1) (t+1) (t+1) (t+1) || 2 ̸= 0。
此时 v = ΥΓ v ,||Γ v || 2 > ψ /ρ 且 ||Γ v
(2) 若 v = 0 U ,则式 (A1) 可以表示为
(ψ (t+1) /ρ)G G G = Γ v (t+1) , s.t. ||G G G|| 1 6 1. (A4)
(t+1) (t+1)
此时 v = 0 U ,且 ||Γ v || 2 6 ψ /ρ。
(t+1) ˆ (t+1)
Γ v [Υ] +, ||Γ v || 2 ̸= 0
根据上述推导,可得 v (t+1) = 。
(t+1)
0 U , ||Γ v || 2 = 0