Page 42 - 《应用声学》2024年第6期

1218 2024 年 11 月

附录A

针对 3.2 节的步骤 6，根据式 (53) 对辅助变量 v (t+1) 进行求解。定义式 (53) 中的代价函数为 F(v) = ψ (t+1) ||v|| 2 +
ρ (t+1) 2
||v − Γ v || 2 ，令 F(v) 对向量 v 的一阶导数为 0，即：
2
∂F(v) (t+1) ∂||v|| 2 (t+1)
= ψ + ρ(v − Γ v ) = 0, (A1)
∂v ∂v

 v/||v|| 2, v ̸= 0 U ,
U
式 (A1) 中，对 ℓ 2 范数求一阶导数，可得 ∂||v|| 2 = 其中 0 U ∈ R 为全零列向量。
∂v  {G G G|||G G G|| 1 6 1}, v = 0 U ,
因此，求解式 (A1) 可分为如下两种情况：
(1) 若 v ̸= 0 U ，则式 (A1) 可以表示为

[1 + ψ (t+1) /(ρ||v|| 2)]v = Γ v (t+1) . (A2)

(t+1)
∃ Υ > 0，使得 v = ΥΓ v ，代入式 (A2) 得到：
ˆ (t+1) (t+1) (t+1)
Υ = (||Γ v || 2 − ψ /ρ)/||Γ v || 2 > 0. (A3)
ˆ (t+1) (t+1) (t+1) (t+1) || 2 ̸= 0。
此时 v = ΥΓ v ，||Γ v || 2 > ψ /ρ 且 ||Γ v
(2) 若 v = 0 U ，则式 (A1) 可以表示为

(ψ (t+1) /ρ)G G G = Γ v (t+1) , s.t. ||G G G|| 1 6 1. (A4)

(t+1) (t+1)
此时 v = 0 U ，且 ||Γ v || 2 6 ψ /ρ。

(t+1) ˆ (t+1)
 Γ v [Υ] +, ||Γ v || 2 ̸= 0
根据上述推导，可得 v (t+1) = 。
(t+1)
0 U , ||Γ v || 2 = 0
