Page 34 - 《应用声学》2025年第2期
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中完美周期结构的波导为基础，在其中心处加入了 3500
一个长度为 L 的细管 (细管的半径 r 2 为 60 mm) 作 3000
为缺陷，如图1(b)所示。 2500
1.2 谱带特性 f/Hz 2000
声波在变截面周期波导中传输时，不同模式的 1500
相互作用会导致频域禁带的产生，并且产生共振的 1000
频率与周期长度有关。将波导内壁设置为刚性边
500
界，将波导内壁设置为刚性边界，其内部填充介质
0
3
为空气(密度为1.25 kg/m ，声速为343 m/s)。根据 -0.5 0 0.5
β/K
Floquet 定理，可以计算得出频率 f 与传播常数 β 的
图 2 第一布里渊区中的色散曲线 (实线) 及其参考
关系式作为色散参考线 [23] ：
线 (点线)
√
( ) 2
c k r,m 2 Fig. 2 Dispersion curves (the solid lines) and their
f = + (nK + β) , (1)
2π r 0 references (the dotted lines) in the first t Brillouin
zone
其中，c 表示声速，k r,m 表示零阶贝塞尔函数的第 m
个零点，K = 2π/Λ 为管壁波数，n 取整数，为空间 利用有限元方法计算不同频率的声波通过变
谐波数。第一布里渊区中的色散参考线如图 2 中点 截面波导时的情况，透射系数T 定义为
线所示。其中，蓝色点线表示基模，即 k r,0 = 0；红
T = 10 lg(W Out /W In ), (2)
色点线表示一阶模式，即 k r,1 = 3.8317。研究表明，
模式共振会发生在参考线的交点处，并产生相应 其中，入口处的声功率和出口处的声功率分别为
的频率禁带。图中点线表明，基模的共振，即相同 W In 和 W Out 。声波在通过如图 1(a) 的完美周期波
模式的布拉格共振，会发生在布里渊区的边缘，即 导后，不同的径向模式共振会导致谱带的分裂，从
β = ±0.5K。3 个不同模式的共振会发生在布里渊 而形成如图 3 蓝色虚线所示的禁带。可以发现在色
区的中心，即β = 0，f = 3000 Hz。根据公式 (1) 设 散曲线带隙频率附近的透过率较小。多模共振产生
计了变截面波导参数，参数的选择保证了 3 个模式 了两个禁带，它们被一个狭窄的通带(在3000 Hz 附
的色散参考线相交于一点，实现多模耦合。在参数 近) 分开。区别于传统的布拉格共振和非布拉格共
变化不大的情况下，虽然三条参考线不交汇于一点， 振导致的禁带，这种多种模式相互作用的多模共振
但交点相距不远，也可以产生多模共振 [24] 。如果参 具有更强的消波能力。
数变化较大，色散参考线的变化过大，多模共振消 当在这种完美周期波导中引入一个长度为 L
失。这个多模共振是本文关注的重点，将通过色散 的缺陷后，其结构如图 1(b) 所示，会在原有的频率
曲线、透射谱和声场分布等来详细讨论声波导中的 禁带中出现一个带宽窄透过率高的异常透射峰，一
多模共振及其缺陷态。 般将透射峰频率对应的声压场分布称为缺陷态。以
周期变截面声波导的色散曲线如图2 中黑色实 缺陷长度 L = 30 mm 为例，其透射谱如图 3 红色
线所示。与按参考线的预测吻合，色散曲线在参考 实线所示。在 f = 2708.1 Hz 处，出现了一个尖锐
线交点处发生了分裂，表明频率处在分裂处的声波 的透射峰，表明缺陷的引入使原来的禁带中产生
不能通过波导，从而产生禁带。多模共振处的色散 了一个反常透射。原本不能通过波导的声波，在
曲线分裂与布拉格共振的不同。在发生布拉格共振 f = 2708.1 Hz 时可以通过波导了。由此可见，缺陷
时，两个相同模式相互作用导致色散曲线向两个相 的引入破环了原有的共振模式。原来的共振是由一
反方向偏移；多模共振时，特别是这里的三模共振， 个一阶模式和两个基模耦合产生的，3 个模式的共
虽然色散曲线也发生了分裂，但在共振点处一阶模 振产生了复杂的谱带结构，在两个禁带中间出现了
式的色散曲线恰好落在参考线上，没有发生频移，仅 一个狭窄的通带。而结构缺陷会在三模共振处引入
仅是基模的色散曲线向两个相反方向偏移了。由此 一个新的局域模式 [25] ，参与多模共振，从而在禁带
可见，多模共振会产生较为复杂的谱带结构。 中出现了反常透射现象。
