Page 127 - 《应用声学》2025年第3期

第 44 卷 第 3 期 张润海等： 深海垂直阵空时频域联合线谱增强方法 661

自适应滤波器按某一种给定的优化准则对代 在实际应用中常常将步长的收敛条件进一步
价函数 e(n) 进行优化，不断地进行迭代，从而对滤 局限为
波器加权系数向量 w(n) 进行调节，使权系数向量 0 < µ < 2 , (16)
趋于最优解，使代价函数最小化。 tr[R]
其中，tr[R] 表示自相关矩阵的迹，为了判断收敛的
ᣥК 效果，定义额外均方误差 J ex (∞) 为自适应滤波循
ण௑
x ↼n↽ x ↼n↽ z -1 z -1 Ā z -1
环了无穷多次后的均方误差 J(∞) 与 Wiener 滤波
x  ↼n֓L⇁↽
器的最小均方误差 J min 之差，失调 M 为额外均方
x  ↼n↽ x  ↼n↽ Ā x L֓↼n↽ ᣥѣ 误差 J ex (∞) 与最小均方误差 J min 之比，在 µ 较小
∗
∗
∗
y↼n↽
时满足
N
+ Ā + Ĥ M = µ ∑ λ k = µ tr[R]. (17)
e↼n↽ d↼n↽ 2 2
µ k=1
失调越小，说明滤波器有更高的精确度。
图 2 ALE 滤波器结构图 滤波阶数和收敛步长的选取对 ALE 滤波器影
Fig. 2 ALE filter structure diagram 响极大，滤波阶数取太小时，LMS 算法发散，滤波阶
数越大，滤波器效果越强，与此同时，其计算时间也
ALE 中常见的自适应滤波最优化方法是基于
会相应增大，且当滤波阶数大到一定程度时，其效
梯度的最速下降法，LMS算法准则作为一种易于实
果已无明显提升，过大的滤波阶数也会影响收敛性。
现的算法受到广泛的应用，常被用于优化代价函数
由式 (17) 可知，收敛步长越小，则失调越小，滤波器
的算法，接下来给出相应的理论推导。
效果越好，当收敛步长大于某个临界值时，滤波器
基于最速下降法，根据 LMS 准则定义代价 的效果已无明显提升。根据实际情况为了提高滤波
函数： 效果，可以尽量选择较小的收敛步长和较大的滤波
2
J LMS = E[e (n)]. (12) 阶数。由于收敛步长越小则收敛时间越长，为了使
ALE 滤波器收敛，输入信号需要有一个较大的时间
目标函数的梯度矢量可以表示为
长度，与此同时，由于线谱存在着时间增益，即选取
2
∂[J LMS (w)] ∂[e (n)] 较大的时间长度进行傅里叶变换，其线谱的频域信
∇ (J LMS (n)) = =
∂w(n) ∂w(n)
噪比更高，但是这必然导致计算效率的提升，因此需
= − 2P + 2Rw(n) = −2e(n)x(n), (13) 要运用一些方法来提高计算效率，下一节将研究提
T
其中，R = E[x(n)x (n)] 为输入信号的自相关矩 升ALE计算效率的方法。
阵，P = E[d(n)x(n)] 为输入信号与期望信号的互 1.3 FALE基本原理
相关矩阵。从最速下降法理论可以知道，最快的下 由于 ALE 算法中自适应滤波器的输出是卷积
降方向为目标函数梯度方向的反方向，则利用目标 和的形式，为了提高计算效率，通过数字信号处理中
函数的梯度矢量对自适应滤波器中的权系数矢量 的快速傅里叶变换 (Fast Fourier transform, FFT)
进行调整，则权系数矢量的迭代公式可以表示为 算法可以实现卷积的快速计算，需要将ALE中的时
1 域分点计算的模式转化为频域的分块计算。FALE
ˆ
w(n + 1) = w(n) + µ[−∇(n)]
2 的基本思想是将信号本身作为期望信号，对期望信
= w(n) + µe(n)x(n), (14) 号进行延时处理，然后将时域信号进行分块 FFT处

式 (14) 中，µ 为步长也称为收敛因子。利用矩阵论 理，为了使频域处理后返回时域信息不失真，采用频
知识，为了满足算法的收敛条件，经计算推导后可得 域 50% 混叠的重叠存储方式来给予一定补偿作为
出算法收敛的步长范围为 滤波器的输入信号 [17] 。由于 50%混叠，为保持频域
滤波权向量 W 与每段的数据长度相同，则频域滤
0 < µ < 2/λ max . (15)
波权向量的长度变为原来的 2 倍，另外一半通过补