Page 248 - 《应用声学》2025年第3期

782 2025 年 5 月

广义胡克定律可以描述为 应力自由边界条件(σ rr = 0, σ rθ = 0, σ rz = 0，
      在 r = a, 且 r = b)在两个侧面(圆管的内表面和外
 C 11 C 12 C 13 0 0 0 
 σ rr 

  ε rr 
   
      表面) 都成立，结合矩形窗函数 π a,b (r)，复合圆管的
   
 ε
     
 C 12 C 11 C 13 0 0 0 
 σ θθ 
    θθ 
   
      构造关系可以描述成如下形式：
   
     
σ zz C 13 C 13 C 33 0 0 0 ε zz
 
=  ,
ε
 ε
   0 0 0 C 44 0 0    σ rr = (C 11 ε rr + C 12 ε θθ + C 1 3 zz ) π a,b (r) ,
 
    θz 
 σ θz 
   
     
ε
   
 ε
   0 0 0 0 C 44 0    σ θθ = (C 12 ε rr + C 11 ε θθ + C 1 3 zz ) π a,b (r) ,
 σ rz    rz 
   
   
   
    σ zz = (C 13 ε rr + C 13 ε θθ + C 33 ε zz ) π a,b (r) ,
σ rθ 0 0 0 0 0 C 66 ε rθ
(1) σ θz = (C 44 γ θz )π a,b (r) ,
其中，σ ij 和ε ij 分别代表应力分量和应变分量，下标 σ rz = (C 44 γ rz )π a,b (r) ,
i 和 j 的取值为 1、2、3；1 表示径向方向，2 表示周向
σ rθ = (C 66 γ rθ )π a,b (r) , (5)
方向，3 表示轴向方向；C kl 构成横观各向同性圆管
式 (5) 中，γ θz 、γ rz 、γ rθ 代表材料在三个方向的剪应
的刚度矩阵。
变，表示材料在剪切力作用下的变形程度。在目前
ጜ፥வՔ
工作中，考虑空心圆管沿圆周 θ 方向传播的自由谐
r
波，方程中的位移分量采用以下形式：
1
a
u r (r, θ, z, t) = √ exp(ikbθ − iωt)U(r),
θ 2π
z
1
u θ (r, θ, z, t) = √ exp(ikbθ − iωt)V (r),
b
2π
1
u z (r, θ, z, t) = √ exp(ikbθ − iωt)W(r), (6)
2π
图 1 横观各向同性圆管 其中，导波位移与轴向无关，k 是传播方向上波数
Fig. 1 Geometry of transversely isotropic pipe 的大小，ω 是圆频率，U(r)、V (r) 和 W(r) 是 r、θ 和
在小变形和线弹性的假设下，圆管中的应变和 z 方向上位移的幅值，这三个位移幅值将以如下
位移关系可以描述如下： Legendre正交级数展开：
∂u r 1 ∂u θ u r ∂u z ∞
ε rr = , ε θθ = + , ε zz = , ∑ 1
∂r r ∂θ r ∂z U(r) = p Q m (r),
m
( )
1 1 ∂u r ∂u θ u θ m=0
ε rθ = + − , ∞
2 r ∂θ ∂r r ∑ 2
V (r) = p Q m (r),
( ) ( ) m
1 ∂u r ∂u z 1 ∂u θ ∂u z
ε rz = + , ε θz = + . (2) m=0
2 ∂z ∂r 2 ∂z r∂θ
∞
∑
在柱坐标系中，假设体力为零，波传播方程 [17] 3 (7)
p Q m (r),
W(r) =
m
由式(3)给出： m=0
2
1 σ rr − σ θθ ∂ u r 其中，p i m (i = 1, 2, 3)是展开系数，并且
σ rr r + σ rθ θ + σ rz z + = ρ ,
′
′
′
r r ∂t 2 √ 2m + 1 ( 2r − (b + a) )
2
1 2σ rθ ∂ u θ Q m (r) = p m , (8)
σ rθ r + σ θθ θ + σ θz z + = ρ , b − a b − a
′
′
′
r r ∂t 2
2
1 σ rz ∂ u z 其中，p m 是第 m 阶勒让德多项式。从理论角度来
σ rz r + σ θz θ + σ zz z + = ρ , (3)
′
′
′
r r ∂t 2 看，展开项m的值将从0到无穷大，但在实际求解方
其中，ρ 是由纤维和环氧树脂按一定比例组成的 程过程中，随着 m 的增加，位移幅度多项式的求和
复合材料密度。考虑到边界条件，矩形窗函数
将收敛到某个有限值 m = M。高于 M 以上的高阶
π a,b (r) [15−16] 被引入：
项可以忽略不计。

1, a 6 r 6 b,
 将方程 (6) 代入方程 (3)，得到以下位移运动
π a,b (r) = (4)
0, elsewhere.
 方程：