Page 249 - 《应用声学》2025年第3期

第 44 卷 第 3 期 张保钦等： 纤维含量对复合圆管周向导波频散特性的影响 783

{ ( 2 ) }
∂ U ∂U [ 2 ] ∂V
2
C 11 r + r + C 66 (ikb) − C 11 U + (C 12 + C 66 )ikbr − (C 11 + C 66 )ikbV π(a, b)
∂r 2 ∂r ∂r
[ ]
∂U 2 2
2
′
+ C 11 r + C 12 rU + C 12 ikbrV π (a, b) = −ρr ω U, (9a)
∂r
{ 2 }
∂U 2 ∂ V ∂V [ 2 ]
(C 66 + C 12 )ikbr + (C 66 + C 11 )ikbU + C 66 r + C 66 r + C 11 (ikb) − C 66 V π(a, b)
∂r ∂r 2 ∂r
[ ∂V ]
2
2
′
+ C 66 ikbrU + C 66 r 2 − C 66 rV π (a, b) = −ρr ω V, (9b)
∂r
{ 2 } ( )
∂ W 2 ∂W 2 ∂W 2 2
2
C 44 r + C 44 (ikb) W + C 44 r π(a, b) + C 44 r π (a, b) = −ρr ω W. (9c)
′
∂r 2 ∂r ∂r
从方程式 (9) 可以看出，径向幅值 U 和周向 2 数值结果和讨论
幅值 V 包含在方程式 (9a) 和式 (9b) 中，因此，方
2.1 正交多项式数值求解
程式 (9a) 和式 (9b) 控制着圆管中的周向 Lamb 波。
众所周知，对于径厚比比较大的圆管中的周向
然而，方程 (9c) 与其他方程不耦合，后者形成周
导波，可以近似认为平板中的Lamb波。为了验证该
向 SH 波。在求解方程时，在方程 (9) 的两端乘以
模型推导的公式是否正确，并检验采用Legendre 多
Q (r)(Q m (r)的共轭)，其中j 从0 到有限值，将方程
∗
i 项式编写的程序是否正确，首先结合由各向同性材
等号的两端对r 从a 到b进行积分，并利用函数的正
料黄铜构成的薄壁圆管绘制了相速度频散曲线，其
交性，得到以下方程组：
几何参数是外径 100 mm，壁厚 1 mm，材料参数 [19]
1
2
j
A j,m 1 j,m 2 j,m 3 = −ω M p , 如表 1 所示。使用 Mathematica 软件首先绘制了对
p
p + A
p + A
11 m 12 m 13 m m m
j,m 1 j,m 2 j,m 3 2 j 2 称模特和反对称模态相速度频散曲线，与英国帝国
A 21 p + A 22 p + A 23 p m = −ω M p ,
m m
m
m
理工大学发布的商业软件 Disperse 绘制的频散曲
2
3
j
p + A
A j,m 1 j,m 2 j,m 3 = −ω M p . (10)
p
p + A
31 m 32 m 33 m m m
线进行对比，在该正交多项式运行过程中，截止项
方程 (10) 对指数 m 反复求和，m 的值从 0 到有 M 到15，运行了1.14 s。
j,m j
限制 M，系数 A 和 M 可以根据方程 (10) 求出， 黄铜的材料属性
11 m 表 1
可以进一步缩写为 Table 1 Materials properties of brass
   
j,m j,m j,m C ij /(×10 10 N·m −2 )
A A A  1 
 p 
11 12 13  m  属性 ρ/(kg·m −3 )
   
 j,m j,m j,m  2 C 11 C 12 C 44 C 66
 A A A  p
21 22 23 m
    黄铜 16.6 8.2 4.2 4.2 8960
j,m j,m j,m  


A A A  3 
p
31 32 33 m
    从图 2 中可以看到，当截至项 M 足够大，由多
j
M m 0 0  1 
 p 
 m 
    项式法计算的相速度频散曲线与商业软件计算的
2 
= − ω  0 M j  p 2 . (11)
m 0  m
    频散曲线基本重合，证明 Legendre 正交多项式方法
 
j


0 0 M m  3  适合用于计算圆管中导波的数值分析。
p
m
结合 V p = ω/k 和 V g = ∆ω/∆k [18] ，根据对角 2.2 单向纤维增强复合材料圆管中的导波传播
性通过求解特征值，可以绘制周向导波的相速度和 横观各向同性复合圆管如图 1 所示，它由玻璃
群速度的频散曲线。随着截止项值的增加，特征值 纤维和环氧树脂组成，玻璃纤维沿轴向铺设，密度
逐步收敛，当 M 增大到有限值后，更高阶的项对特 均匀。该复合材料的弹性参数如下：玻璃纤维密度
征值求解没有发生太大影响时，可忽略不计，该特征 ρ f = 2491 kg/m ，杨氏模量 E f = 73.0 GPa，剪
3
值可以作为方程的解，用于绘制管中导波频散曲线。 切模量 G f = 30.1 GPa；树脂基体的参数是密度