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592 2018 年 9 月

附录 A

当在接收点测得的到达声线天顶角为 ϑ r 时，按照射线声学，由声源至接收点的水平距离可由式 (A-1)
给出：
∫ ∫
z f z s
r = cot ϑdz + cot ϑdz = Γ 1 + Γ 2 . (A-1)
z r z f
首先计算Γ 2 ：
√
√ ( √ ) 2
2
2
2
2 2
∫ c − c 2 ∫ c − −αsz + c + s z
z s z s f 0
f
Γ 2 = dz = √ dz.
c −αsz + c + s z
2
2 2
z f z f 0
√ 2 1 { √ 2 }
2
2 2
2
作变量替换，令 c = −αsz + c + s z ，sz = αc + c − c (1 − α ) ，
0
0
1 − α 2
{ }
dz 1 c
∵ s = α + √ ,
2
dc 1 − α 2 c − c (1 − α )
2
2
0
 √ √ 
2
∫ c s α c − c 2 2 2 
1 f c − c 1
f
∴ Γ 2 = + dc = (Γ 21 + Γ 22 ) ,
2
s (1 − α )  c 2 2 2 s (1 − α )
2
0
c f c − c (1 − α )
其中第一项积分结果为 [8]
( )
√ c
2
2
Γ 21 = α c − c + c f ch −1 f , (A-2a)
f s
c s
第二项积分结果为 [9]
( )
2
c − c 2 1 − α 2 ∫ u s
f 0 2
Γ 22 = − sn (u) du = −c f [u s − E (ϕ s , κ)] , (A-2b)
c f 0
√ 2 2 2 2 ( 2 )
c − c s c − c 0 1 − α
f
f
2
其中，sn (u s ) = sin ϕ s ，ϕ s = am (u s ) = sin −1 ，κ = ，sn, am, E (ϕ, κ) 各
2
2
2
c − c (1 − α ) c 2
f 0 f
为相应定义的椭圆函数，仿照上述方法，因cos ϑ r 是已知常量，且 c r = c f ，只不过 Γ 1 是从 z r 积到 z f ，而
cos ϑ r
Γ 2 是从z f 积到z 1 而已，因此可直接写出：
∫ ∫
z f z f cdz 1
c cos ϑ r
Γ 1 = √ dz = √ = (Γ 11 + Γ 12 )
2
2 2 2 2 s (1 − α )
c − c cos ϑ r c − c 2
z r r z r
f
( )
√ c
2
2
= α c − c + c f ch −1 f + c f [u r − E (ϕ r , κ)] , (A-3)
f r
c r
√
2
c − c 2 r
其中，sn (u r ) = sin ϕ r ，ϕ s = am (u r ) = sin −1 f 。
2
2
2
c − c (1 − α )
f 0