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682 2018 年 9 月

单位长度) 和应力场；f sn 和 f vn 分别是由二阶表面
应力张量 P [U (ω,l) ] 和二阶彻体驱动力 F [U (ω,l) ] 所
λ
θ/ 提供的面驱动源和彻体驱动源，其具体表达式分别
༏ҵऄҧ
E ˆ r 为 [19]
E ϕ
θ ˆ { (2ω,n) r=R 2 }
˜
f sn = j2ω U (r) · P [U (ω,l) , (6)
R 2 1 ] · ˆy
θ
l/θSR 2 r=R 1
O O
∫
R 2
˜ (2ω,n)
f vn = j2ωU (y) · F [U (ω,l) ]dy. (7)
R 1
R 1
ଌஆག 不失一般性，设 l 阶基频周向导波模式的激发
源位于图1中的θ = 0处，考虑到二次谐波的初始条
图 1 圆管中周向导波的二维模型示意图及计算极
件，即在 θ = 0 时无二次谐波发生，故有 a n (θ) = 0。
坐标系
对式 (4) 进行积分，容易得到该基频周向导波传播
Fig. 1 Schematic diagram of the 2D circular tube
至θ 处的a n (θ)：
model and polar coordinate system for analyzing
CGW propagation [ sin(∆Nθ) ] (f sn + f vn )
a n (θ) = exp(j∆Nθ)
∆N 4P nn
固体的弹性非线性 [27] ，伴随基频周向导波的传
× exp[jN (2ω,n) θ], (8)
播，在圆管的内外表面及管壁内部，将存在二倍频
的面驱动应力张量 P (NL) = P [U (1) ] = P [U (ω,l) ] 其中，∆N = [N (ω,l) − N (2ω,n) /2]用于描述l 阶基频
和二倍频的彻体驱动力 F [U (1) ] = F [U (ω,l) ]。根 周向导波与 n阶二倍频周向导波模式之间的相速度
据 导 波 激 发 的 模 式 展 开 分 析 方 法， P [U (1) ] 和 匹配程度。当∆N = 0时，对式(8)取极限运算可得
F [U (1) ] 的作用就是在圆管中激发出一系列角波 (f sn + f vn )
a n (θ) = θ × exp[jN (2ω,n) θ]. (9)
数取分离值 (以 N (ω,n) 表示) 的二倍频周向导波模 4P nn
式，这些二倍频周向导波模式相叠加，即构成了 式 (9) 表明，当 l 阶基频周向导波模式与 n 阶
伴随 l 阶基频周向导波传播所发生的二次谐波声 二倍频周向导波模式的相速度严格匹配时 (即
场，U (2) = U (2ω) = U (2ω) (r, θ)，即有 (略去因子 ∆N = 0)，n 阶二倍频周向导波模式的展开系数
exp[−j2ωt]) [28] a n (θ) 与周向角 θ 呈线性关系。将式 (9) 带入式 (3)，
∑ 即得到伴随 l 阶周向导波模式传播而产生的二次谐
U (2ω) = a n (θ) × U (2ω,n) (r), (3)
n 波声场 [19] ：
其中，U (2ω,n) (r) 是 n 阶二倍频周向导波模式的位 (2ω) ∑ (f sn + f vn ) sin(∆Nθ) (2ω,n)
U = U (r)
(2ω,n)
移场函数，其径向和周向分量分别以 U r (r) 和 4P nn ∆N
n
(2ω,n) [ ]
U (r) 表示，a n (θ) 是 n 阶二倍频周向导波的模 (2ω,n)
θ · exp jN θ + j∆Nθ . (10)
式展开系数。根据互易原理和导波模式的正交关
至此，基于二阶微扰近似和模式展开分析方
系 [27] ，推得展开系数a n (θ)的控制方程 [19] ：
法，推得了伴随 l 阶周向导波传播所发生的二次谐
[ ]
∂ (2ω,n)
− jN a n (θ) 波声场的数学表达式。据式 (3) 可知，l 阶周向导波
∂θ
1 [ (2ω,n) ] 模式的二次谐波声场由一系列二倍频周向导波模
= [f sn + f vn ] exp jN θ , (4)
4P nn 式叠加而成，n 阶二倍频周向导波模式对二次谐波
其中， 声场 U (2ω) 的贡献取决于两个条件：一是以 ∆N 表
∫ R 2 [ ] (ω,l)
1 j2ω (n) 示的相速度匹配程度；二是由基波产生的 P [U ]
ˆ
˜ (2ω)
P nn = Re − U (r) · σ (r) · θdr,
2 r (ω,l) ] 与二倍频周向导波模式之间的耦合程
R 1 及 F [U
(5) 度，即基波传递给二次谐波的功率流的大小 (通过
式 (4)∼(5) 中，P nn 和 σ (n) (r) 分别为 n 阶二倍频周 (f vn + f sn )/4P nn 的数值大小予以体现)。相速度匹
向导波模式沿周向传播的平均功率流 (沿 z 轴向取 配程度对周向导波二次谐波的发生效率至关重要，