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第 37 卷 第 5 期 高广健等： 圆管结构中的非线性周向导波 683

决定了 n 阶二倍频周向导波模式的振幅随周向角 θ 频散曲线存在一系列交点 (D 0 、D 1 、D 2 、D 3 和 D 4 )，
的积累增长程度。据式 (8)可知，对于n 阶二倍频周 这些交点对应一系列二倍频的周向导波模式。点
向导波模式，当 ∆N ̸= 0 时，a n (θ) 随周向角 θ 以正 P 0 和 D 0 相重合，表明在该驱动频率 (由竖直虚点
弦函数形式变化。这一结论类似于固体板中兰姆波 线 V 所对应的频率) 下，满足相速度匹配条件 (即
(2)
(1)
的二次谐波发生效应 [12−13] ，当相速度失配时 (即 c p = c p )。
N (ω,l) ̸= N (2ω,n) /2)，在一定周向角范围内，a n (θ)
仍表现出积累增长性质；在 θ max = π/(2∆N) 处， 表 1 圆管的材料参数
a n (θ)取极大值 [27] 。 Table 1 Some parameters for the material
需注意的是，当∆N = 0 时，n 阶二倍频周向导 of circular tube
波随周向角积累增长；对于某一确定的周向角 θ，周
声速/
向导波绕行一周之后周向角将增加 2π。若不计衰 材料 密度 ρ 0 /(kg·m −3 ) (km·s −1 ) 三阶弹性常数/Gpa
减，据式 (9) 可知，在绕行 J 周之后，较最初 θ 处的 n A B C
c L c T
阶二倍频周向导波的振幅将增大(2Jπ + θ)/θ 倍，这
不锈钢 7900 5.64 3.07 −720 −230 180
一效应完全不同于兰姆波和 SH 板波，以及管 (柱)
状结构中轴向导波的非线性效应 [12−13,16−18] 。 从实际测量角度出发，分析圆管外表面的二次
2.2 数值分析 谐波位移场随传播周向角的分布关系甚有必要。当
2.2.1 数值计算 基频周向导波(由点P 0 确定)沿圆管周向传播时，所

设图 1 所示圆管的内径 R 1 和外径 R 2 分别为 发生的二次谐波可视为一系列二倍频周向导波模
104.5 mm 和 109.5 mm，其相关的材料参数如表 1 式 (由点 D 0 ，D 1 ，D 2 ，D 3 ，D 4 确定) 叠加而成。根据
所列。 式 (10) 进行计算，图 3 给出了伴随基频周向导波模
根据圆管中周向导波的频散方程 [6,20] ，计 式 (l = 3) 传播所发生的若干个二倍频周向导波模
算 得 到 周 向 导 波 基 频 和 二 倍 频 的 频 散 曲 线 如 式，在圆管外表面的振幅随传播周向角的变化关系
图 2 所 示。 线 相 速 度 和 线 群 速 度 分 别 定 义 为 曲线。
(m) (m) (m) (m) (m) (m) 显而易见，因基频与二倍频周向导波模式
c p = R 2 ω /N ，c g = R 2 × dω /dN
(1)
(2)
(m = 1, 2；ω (1) = 2πf，ω (2) = 2π×2f)，上标m = 1, 满足相速度严格匹配条件 (c p = c p 或 N (ω,l) =
2 分别对应基频或二倍频周向导波模式；N (m) 表示 N (2ω,n) /2)，阶数 n = 5 的二倍频周向导波模式 (由
相应的角波数。竖直虚点线 V 与二倍频周向导波 点D 0 确定)的振幅随传播周向角呈线性积累增长关

5.0
9 ۳ᮠևՔ࠮ฉ
۳ᮠևՔ࠮ฉ P  ̄φᮠևՔ࠮ฉ
̄φᮠևՔ࠮ฉ 4.5
8 V വरࠫ(P 0 ֗D 0 )
V വरࠫ(P 0 ֗D 0 ) f=0.88 MHz,
f=0.88 MHz, c g=2.16 km/s
c p=4.38 km/s
7
ᄱᤴए c p /(kmSs -1 ) 6 5 3 5 D  Ꮖᤴए c g /(kmSs -1 ) 4.0 P 
3.5
D 
3.0
P 
P 
P 
4
D 
D  H 2.5 P 
D 
3 2.0 D 
1.5
2
0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2
ᮠဋ/MHz ᮠဋ/MHz
(a) ᄱᤴए (b) Ꮖᤴए
图 2 圆管中基频和二倍频周向导波频散曲线
Fig. 2 Dispersion curves for primary and double frequency CGWs in the circular tube