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684 2018 年 9 月

300 500
↼ω֒m↽ =4.38 km/s ↼ω֒m↽ =4.38 km/s
གD  : c p ↼ω֒m↽ =3.26 km/s 400 གD  : c p ↼ω֒m↽ =3.26 km/s
|a n(θ)U (2ω,n) (r)/U (ω,l)2 |/mm -1 r 200 གD  : c p ↼ω֒m↽ =5.43 km/s |a n (θ)U (2ω,n) (r)/U (ω,l)2 |/mm -1 θ 300 གD  : c p ↼ω֒m↽ =5.43 km/s
250
གD  : c p
གD  : c p
↼ω֒m↽
↼ω֒m↽
=3.62 km/s
=3.62 km/s
གD  : c p
གD  : c p
↼ω֒m↽
↼ω֒m↽
=6.14 km/s
=6.14 km/s
གD  : c p
གD  : c p
150
200
100
50
0 100 0
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
ևՔᝈ θ/rad ևՔᝈ θ/rad
(a) य़ՔͯረѬ᧚ (b) ևՔͯረѬ᧚
图 3 在圆管外表面，二倍频周向导波模式的振幅随传播周向角的关系曲线
Fig. 3 Amplitudes of some double-frequency circumferential guided wave modes on the outer surface of
the circular tube
系。相比之下，由其他交点 (D 1 、D 2 、D 3 和 D 4 ) 所 用角度考虑，该解仍具有实际意义 [12,14] 。
(1)
(2)
确定的二倍频周向导波模式，因c p ̸= c p ，其振幅 2.2.2 有限元仿真
随传播周向角以正弦形式振荡变化，表现出 “ 拍”
®
采用商业有限元软件 Abaqus 数值仿真非线
效应。频散程度 ∆N 越大 (即相速度失配越严重)，
性周向导波在圆管结构中的传播过程，用于有限
θ max 越小，二倍频周向导波振幅随周向角的振荡愈
元仿真研究周向导波传播规律的二维圆管模型示
加明显，其对二次谐波声场U (2ω) 的贡献与点D 0 所
意图如图 1 所示。一般来说，施加于圆管外表面
确定的二倍频周向导波模式相比，处于次要地位。
的应力将同时激发出沿顺时针和逆时针传播的周
因此，当基频与二倍频周向导波满足相速度严格
向导波，在此我们仅考虑周向导波沿顺时针方向
匹配条件时，二次谐波声场主要取决于点 D 0 所确
的传播。为避免沿逆时针方向传播的周向导波干
定的二倍频周向导波模式，其他二倍频周向导波模 扰，得到单一沿顺时针方向的周向导波信号，将
式的贡献可忽略不计。在实际应用中，可选择性地
图 1 所示的圆管在端面 E 和E 处断开，并采用无限
′
激发适当的基频周向导波模式，使其满足相速度相 元单位 (CINPE4) 划分端面网格，由此尽量减弱来
匹配和功率流不为零 (即 (f vn + f sn )/4P nn ̸= 0) 的 自上述端面的反射信号和干扰。采用 Fortran 语言
条件，如此便可有效地检测到周向导波的二次谐波 编写用户子程序 VUMAT，将圆管材料的非线性本
信号。 构关系引入 Abaqus/Explicit 求解器中进行迭代计
需要说明的是，在二阶微扰近似 (即弱非线性 算 [23] 。采用四节点减缩积分平面应变单元 CPE4R
近似) 条件下，文中理论分析过程及所得结果是准 划分网格，单元尺寸设置为 0.2 mm，时间增量设

确的。换句话说，式 (9) 和式 (10) 成立是有条件的， 定为 0.01 µs。在单层圆管外表面施加周期性分布
要求伴随基频周向导波传播所发生的二次谐波的 的应力以实现选择性激发超声导波目标模式，并尽
振幅远小于基频波的振幅 (视基波振幅为恒定值)， 可能地抑制其他不相关模式的产生。激励信号S(t)
并忽略三次以上的高次谐波。对于∆N = 0的情形， 是 Hanning 窗调制的正弦脉冲信号，其载波频率为
考虑到具有积累增长性质的n阶二倍频周向导波模 0.88 MHz，30 个周波数。通常激励应力在时间和
式的非线性畸变程度随周向角累积增强，在传播一 空间上的分布形式可由函数 M × S(t) × K(l) 完全
定的周向角度之后，可导致锯齿波的形成。在临近 定义出，M 为应力幅值，在本文中设为 10 MPa [29] ，
锯齿波形成的周向角附近，式 (10) 给出的解不再成 K(l)是激励应力在空间的分布函数。
立，因为此时二阶微扰近似的前提条件已不满足。 采 用 数 字 带 通 滤 波 器 对 在 圆 管 外 表 面 处
通常关注的是锯齿波形成之前的有限振幅声波的 (r = R 2 ) 接收到的时域信号进行滤波，得到基波
传播问题，尽管式 (10) 存在一定的局限性，但从应 时域信号和二次谐波时域信号如图4(a) 所示。在基