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第 37 卷 第 5 期 高广健等： 圆管结构中的非线性周向导波 681

相关，这将使得周向导波的非线性效应完全有别于
1 引言
轴向导波的非线性效应。周向导波作为圆管结构中
圆管结构具有双轴对称、截面形心和剪心重合 存在的一类重要导波模式，对其非线性效应开展系
等特点，截面惯性矩对各轴相同，作为受弯和受压 统的理论研究，是对已有非线性超声导波研究工作
构件的优势十分突出，被广泛应用于实际工程领域。 的进一步深化与拓展。鉴于周向导波在圆管结构无
超声导波作为一种有效的无损检测手段，在圆管结 损检测方面所具有的独特优势，以及非线性超声测
构的性能评价方面已得到广泛研究和应用 [1−4] 。圆 量方法检测灵敏度高的特点，若将两者加以结合，则
管结构中传播的导波模式分为轴向导波和周向导 可望发展出一种适用于圆管结构早期损伤评价的
波(Circumferential guided wave, CGW)两种形式， 有效方法。近年来，就传播路径闭合的圆管结构中
而轴向导波又包括轴对称的纵向导波、轴对称的扭 周向导波的非线性效应，我们对其开展了一系列理
转导波及非轴对称的弯曲导波等三种形式 [5] 。采 论分析、数值仿真和实验研究工作 [19−26] 。本文对
用轴向超声导波对圆管结构进行无损检测已开展 这些研究工作进行了梳理和阶段性总结，有关结果
了大量的研究工作，用于评价圆管结构的裂纹、孔 可为进一步开展非线性周向导波的研究工作奠定
洞、管壁腐蚀 (壁厚变化) 程度、管材参数及圆管表 理论和实验基础。需说明的是，文中所指的非线性
面覆层特性等。相比之下，沿圆管结构周向 (环向) 效应，确切地讲是指基波 (即基频周向导波) 介于小
传播的周向导波的研究工作相对较少。周向导波沿 振幅声波与弱冲击波之间的二次谐波发生效应。
圆周方向传播，其传播路径闭合，并在管径方向形
2 圆管中周向导波二次谐波发生效应
成驻波，尤其适宜于检测较大管径圆管管壁的径向
裂纹及轴向裂纹等 [6−8] 。Qu 等 [6] 首先研究了圆管
借助于二阶微扰理论和模式展开分析方法，对
中周向导波的频散特性，随后Liu等 [7] 和Valle等 [8]
圆管中周向导波的二次谐波发生问题进行理论和
进一步研究了周向导波在圆管结构中的传播特性；
数值分析。
Zhang 等 [9−10] 系统研究了多层圆管结构中周向导
2.1 理论分析
波的传播问题，并分析了相邻管层之间的界面特性
对周向导波所产生的影响。 根据二阶微扰近似理论，描述圆管中非线性周
关于超声导波非线性问题的研究工作，近年来 向导波的波动方程可线性化为两个线性方程 [13] ：
2
已取得很大的进展。Deng [11] 首先采用界面非线性 ( (1) ) 2 (1) ∂ U (1)
(λ+µ) ∇ ∇ · U + µ∇ U =ρ 0 , (1)
声反射技术，得到了固体板中兰姆波和 SH 板波在 ( ) ∂t 2
2
共振条件下的具有积累增长效应的二次谐波声场 (λ + µ) ∇ ∇ · U (2) + µ∇ U (2) + F [U (1) ]
之解析解；进一步，Deng等 [12−13] 和 de Lima 等 [14] ∂ U (2)
2
= ρ 0 , (2)
各自分别采用导波模式展开分析方法，在二阶微 ∂t 2
扰近似下，分析得出了更为一般的二次谐波声场之 其中，U (1) 表示基频周向导波的位移场，U (2) 表示
解析解。相关研究结果表明，在一定条件下超声导 二阶 (二倍频) 周向导波的位移场，ρ 0 为固体无形变
波可存在强烈的非线性效应，其二次谐波振幅随传 时的质量密度，λ 和 µ 是拉梅常数。为简化分析过
播距离积累增长；此外，de Lima 等 [15] 和Srivastava 程，不考虑管材的各向异性和声衰减，对内外径分别
等 [16] 分别研究了任意横截面结构(含圆管结构)中， 为 R 1 和 R 2 的圆管建立柱坐标 (r, θ, z) 如图 1 所示，
轴向导波的二次谐波发生问题。 z 表示轴向，周向导波沿周向角θ 方向传播。图中圆
已开展的关于超声导波非线性效应的理论与 管在端面E 和E 处进行断开处理，将在后续仿真部
′
实验研究工作，仅限于固体板状结构中的超声兰姆 分详细阐述。
波和 SH 板波，以及管 (柱) 状结构中的轴向超声导 角频率为 ω、阶数为 l 的基频周向导波沿圆管
波 [15−18] 。对于圆管结构中的周向与轴向导波，两 的周向传播 (如图 1) 时，其无量纲角波数为 N (ω,l) 、
者在声场及频散特性等方面均存在很大的差异 [18] ， 满足式 (1) 的位移场形式上表示为 U (1) = U (ω,l) =
鉴于非线性效应与基波的声场及频散特性等密切 U (ω,l) (r) exp[jN (ω,l) θ − jωt] [6,20] 。因几何非线性及