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第 37 卷 第 5 期 郭拓等： 小快拍高分辨目标方位估计算法 GMUSIC 的性能分析 783

年代的数理统计领域，是由于出现经典多元统计分 实特征值、特征向量与样本协方差矩阵之间在逼近
析不再适用于处理大维数据的问题，标志性的工作 域中的关联。GMUSIC算法的一致方位估计器为
( )
是 1928 年 Wishart 发表的关于多元统计分析的一 ∑
N
H
P G-MUSIC = a (θ) ϕ(i)ˆ q i ˆ q H a(θ), (6)
i
篇论文 [20] 。随机矩阵理论是高等多元统计分析的
i=1
一个数学分支，顾名思义，它是随机过程论与矩阵  N ( )
∑ ˆ
 λ k ˆ µ k

论的交集，其早期主要用于解决核物理等方面的问  1+ − ,

 ˆ ˆ ˆ
 k=N− D +1 λ i −λ k λ i −ˆµ k

题，现在已经推广应用于无线通讯、网络安全、基因 



 i 6 N − D,
统计和金融等领域 [21] 。 ϕ(i) = (7)
ˆ
随机矩阵理论专注于研究各种基于不同模型  N−D ( λ k ˆ µ k )
∑


 − ,
−
ˆ
ˆ
随机矩阵 (包括样本协方差矩阵) 的特征值、特征向  λ i − λ k ˆ

λ i − ˆµ k

 k=1

量以及其随着快拍数与阵元数同步变化时的逼近  i > N − D,

行为，对于固定阵元数 N 时的特殊情况，协方差矩
ˆ
ˆ
ˆ
其中，D 为信源个数，λ 1 < λ 2 < · · · < λ N 与 ˆ q i 分别
阵R 特征值的经验谱分布函数可以表示为
ˆ
是样本协方差矩阵 R 的特征值与特征向量。ˆµ k 是
1
R ˆ
F (λ) = #{1 6 k 6 N : λ k 6 λ}, (3) 公式 (8)的实值解，其中c = N/L。
N
N
ˆ
其中，#{·} 表示满足某条件集合的基数，即元素个 1 ∑ λ i 1
= . (8)
数；F (λ) 是一个特征值计数函数，它表示 R 的特 N ˆ c
R
λ i − µ
i=1
ˆ
ˆ R
征值中小于等于 λ 的个数。F (λ) 是样本协方差矩
ˆ
阵R 的经验谱分布函数，它是一个确定性的分布函 3 仿真及性能分析
ˆ
数，因为其给出了样本协方差矩阵R 的特征值逼近 3.1 方位分辨仿真
ˆ
性的描述，无论快拍数L如何变化，F (λ)都将在逼
ˆ R
在仿真中，假设采用一个半波长分布的20元均
近域中逼近于 F (λ)，所以使用样本协方差矩阵的
R
ˆ
经验谱分布函数F (λ)来逼近F (λ)是可行的。 匀线阵，入射的信号为两个远场窄带信号，频率分别
R
ˆ R
为6.25 kHz、6.245 kHz，采样频率50 kHz，两个信号
由于直接使用经验分布函数来描述样本协方
的入射角分别为 16 、20 ，信噪比 SNR 皆为 20 dB，
◦
◦
差矩阵的逼近特征较复杂，一般通过 Stieltjes 变换
ˆ
ˆ R
来实现，F (λ)的Stieltjes变换可定义为 噪声为复高斯白噪声，快拍数取 100。图 2 为使用
GMUSIC算法与 MUSIC 对这两个相邻目标进行方
∫
ˆ
ˆ 1 dF (λ) 位估计的结果。
ˆ R
b N (z) =
λ − z
由图 2 可知，对于两个入射方向相差为 4 的相
◦
N
1 ∑ 1 1 −1
ˆ
= = tr[(R − zI) ]. (4) 邻目标，在使用 100 快拍情况下，MUSIC 算法不能
N ˆ N
λ r − z
r=1
将这两个相邻目标分辨出，而GMUSIC却可将这两
ˆ
对于样本协方差矩阵 R，经验谱分布函数 个目标正确分辨出，因此，在一定程度上可以说明
ˆ
ˆ R
F (λ) 及其 Stieltjes 变换只考虑了特征值的逼近
GMUSIC算法具有更高的方位分辨性能。
而没有将特征向量的特性融入，因此考虑如下谱函
0
数的Stieltjes变换： MUSIC
-5 GMUSIC
N
∑
H
H
ˆ
F N (λ) = a q i q a#{λ ≤ λ}. (5)
i -10
i=1 ቇᫎவͯ៨/dB
公式 (5) 经 Stieltjes 变换后，通过 G 估计及随 -15
机矩阵理论 [22−23] 得到改进的 MUSIC 算法，即 -20
GMUSIC [18−19] 算法，G 估计的主要思想是它可以 -25
-100 -50 0 50 100
充分利用特征值与渐近区间中的真实特征值之间 К࠱ᝈ/(O)
的联系，而GMUSIC算法的基本思路就是利用G估 图 2 GMUSIC 与 MUSIC 方法分辨能力对比
计的特性，通过 Stieltjes 变换建立起协方差矩阵真 Fig. 2 Comparison of GMUSIC and MUSIC methods