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第 37 卷 第 5 期 李小雷等： 利用环境噪声进行安静目标探测 639

∫
1 Q(r, ω)f(ˆr , −ˆr) exp[ik(r + r − |r − r|)]
T 3 = A A B dr, (2d)
16π 2 |r|=1 |r − r|rr A
B
∫
1 Q(r, ω)f(ˆr , −ˆr)f (ˆr , −ˆr) exp[ik(r − r )]
∗
A
A
B
B
T 4 = dr, (2e)
2
16π 2 |r|=1 r r r B
A
其中，T 1 表示直达波间的互相关，T 2 、T 3 表示直达波 从 时 域 波 形 上 看， T 2B 表 明 在 时 刻 t =
与散射波的互相关，T 4 表示散射波与散射波的互相 (r −r )/c 会出现峰值，而这个峰值在真实的格
A B
关。在图1(a)所示的坐标系下， 林函数中不应该出现，它便是引言中提到的虚假峰。
虽然虚假峰的出现破坏了真实的格林函数，但是它
r = (r sin θ , 0, r cos θ ),
A A A A A
包含散射体的位置信息，因此从探测的角度来看虚
r = (r sin θ , 0, r cos θ ),
B
B
B
B
B
假峰所包含的信息也是可以利用的。对 T 3 的分析
r = (r sin θ cos φ, r sin θ sin φ, r cos θ),
与T 2 类似，这里只给出T 3 稳相近似的结果：
假设r ≫ r A,B ，则 iQ(r 3A , ω)
T 3 ≈ G S (r , r )
B
A
|r − r| 2k
A,B
iQ(r 3B , ω) exp[ik(r − r )]
B
A
≈ r − r A,B (cos φ sin θ sin θ A,B + cos θ cos θ A,B ). (3) + 8πk r r B f(ˆr , ˆr ). (8)
B
A
A
公式 (2b)、(2c)、(2d) 指数项中的 |r − r| 可 根据公式 (4)∼(8)，接收器 A、接收器 B 接收到
A,B
以用公式 (3) 近似，由于接收器距离散射体足够远， 的噪声信号的互相关结果可以重新写为
分母中的|r − r|可直接用r 近似。利用稳相法可 ⟨ ⟩
A,B n(r )n (r )
∗
以得到公式 (2b)∼ 公式 (2d) 的近似结果，其稳相点 A B
iQ(r 1A , ω) iQ(r 1B , ω)
均在平面y=0上，如图1(b)所示。T 1 有两个稳相点， ≈ G 0 (r , r ) − G (r , r )
∗
0
2k B A 2k B A
位于接收器A和接收器B的连线的两端，分别用1A iQ(r 3A , ω) iQ(r 2A , ω)
∗
和1B表示。稳相点1A对T 1 的贡献为 [9] + 2k G S (r , r ) − 2k G (r , r )
S
A
A
B
B
[
iQ(r, ω) exp(ik|r − r |) i exp[ik(r − r )]
T 1A = − B A + A B × Q(r 3B , ω)f(ˆr , ˆr )
8πk |r − r | 8πk r r B A
B A A B
iQ(r 1A , ω) ∗
= G 0 (r , r ), (4) − Q(r 2B , ω)f (ˆr , ˆr )
B
A
A
B
2k k ∫ Q(r, ω)f(ˆr , −ˆr)f (ˆr , −ˆr) ]
∗
其中，G 0 (r , r )是自由空间中的格林函数。稳相点 + A B dr ,
B A 2πi r 2
1B对T 1 的贡献正比于稳相点1A贡献的复共轭，即 |r|=1
iQ(r 1B , ω) (9)
∗
T 1B = − G (r , r ). (5)
0
B
2k A 注意当噪声源在球面上满足均匀分布这一特殊情
从时域波形上看，G 0 (r , r ) 对应因果直达波，
B A 况时，即Q(r, ω) = Q(ω)，公式(9)变为
即大于零时刻的直达波，G (r , r ) 对应反因果直
∗
0 B A
达波，即小于零时刻的直达波。因为Q(r 1A , ω)一般 ⟨n(r )n (r )⟩ ≈ − Q(ω) Im [G(r , r )] , (10)
∗
A B k B A
情况下不等于Q(r 1B , ω)，因此利用环境噪声互相关
其中，G(r , r ) = G 0 (r , r ) + G S (r , r )。从
提取到的因果直达波和反因果直达波的幅值一般 B A B A B A
公式 (9) 可以看出，接收器 A、接收器 B 接收到的
是不同的。T 2 也有两个稳相点，位于散射体和接收
噪声信号的互相关结果既能提取到声波从接收器
器A的连线的两端，分别用2A和2B表示。2A对T 2
A 出发经散射体散射到达接收器 B 所需要的时间
的贡献为
t AB = (r + r )/c，也能提取到声波从接收器 A 出
iQ(r 2A , ω) exp[−ik(r + r )] A B
T 2A = A B f (ˆr , −ˆr ) 发到散射体所需的时间与声波从接收器 B 出发到
∗
8πk r r B B A
A
iQ(r 2A , ω) 散射体所需的时间差 ∆t AB = (r − r )/c。对于任
B
A
∗
= − G (r , r ), (6) 意一对接收器而言，t AB 可以确定一条以这两个接
S
A
B
2k
其对应反因果散射波。稳相点2B对T 2 的贡献为 收器为焦点的椭圆，散射体位于椭圆上，∆t AB 可以
iQ(r 2B , ω) exp[ik(r −r )] 确定一条以这两个接收器为焦点的双曲线，散射体
B
A
∗
T 2B =− f (ˆr , ˆr ). (7)
B
8πk r r A 位于双曲线上，因此根据两个接收器记录的环境噪
A B