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第 37 卷 第 5 期 李小雷等： 利用环境噪声进行安静目标探测 643

ε(r) > 0 为 r 处噪声源的强度，接收器 A、接收器 B 以因果散射波为例，根据公式 (9) 可知，因果散
记录到的噪声信号具有如下形式： 射波在时域的信号幅值为
√ N
S (ω) = p(ω)n (ω), (14a) cε(r 3A ) ∑ f(ω n )p(ω n )
A A (22)
√ Amp = ,
S (ω) = p(ω)n (ω), (14b) 8πr r B n=1 ω n
A
B B
其中，n (ω)、n (ω) 是方差 σ = 1 的白噪声。在 其中，r 3A 为与因果散射波相对应的稳相点位置，
2
A B
实际的数据处理中，往往将时间长度为 T 的噪声 f(ω n ) 为散射函数。在 N 一定的情况下，若目标
数据分成 N t = αT 个相互独立的噪声样本，其中， 散射波的时域的信号峰值大于 3 倍的背景噪声级，
α = 1/∆T，∆T 为每一个噪声样本的持续时间，并 则要求
通过各样本的互相关的平均值代替真实的互相关，
T = N t ∆T
即 [ ] −2
N
N
2
2 2
288π ∆Tr r ∑ ∑
⟨ ⟩ ⟨ ⟩ B f(ω n )p(ω n ) 2
∗
∗
C AB (ω) = S (ω)S (ω) = p(ω) n (ω)n (ω) > A p (ω n ).
2 2
A B A B c ε (r 3A )
n=1 ω n n=1
N t
1 ∑ n (23)
≈ S (ω)S n∗ (ω)
A B
N t
n=1 由公式 (23) 可以看出，利用环境噪声互相关进
= C AB (ω) + δC AB (ω), (15) 行探测所需的累积时间与目标到两个接收器的距
其中，δC AB (ω)的均值为零，标准差为Σ(ω)。一般而 离的平方成正比，与稳相点处噪声源的强度 ε(r 3A )
⟨ ⟩
2
言 n (ω)n (ω) ≪ σ = 1，因此在估计 Σ(ω) 时可 的平方成反比。噪声源的频带宽度以及功率谱形式
∗
A B
以近似的认为接收器 A、接收器 B 记录到的噪声不 对累积时间的影响体现在公式 (23) 的两个求和项
相关，根据概率的知识可知 中，假设在感兴趣的带宽内 f(ω n )/ω n 相对于 p(ω n )
p(ω) 变化非常缓慢以至于可以近似为一个常数，则公
Σ(ω) ≈ √ . (16)
式 (23)可以写为
N t
一般而言，人们更关心噪声互相关结果的时
[ N ] −2
2
2 2
域波形。假定目标的散射波在时域的信号峰值大 T > 288π ∆Tr r ω 2 ∑ p(ω n )
0
B
A
2
2 2
于 3 倍的背景噪声级，则认为可以在时域波形中 c ε (r 3A )f (ω 0 ) n=1
发现目标信号。背景噪声完全由 δC AB (ω) 确定，假 ∑ 2
N
设其对应的时域信号为 δc AB (t)，则时域上的背景 × p (ω n ), (24)
n=1
噪声级可以由 δc AB (t) 的标准差确定。为了分析
其中，ω 0 为频带内的某一频点。由柯西 –施瓦兹不
的方便，取频带 B 内的 ω 为一系列离散的值，即
等式可知
ω = {ω 1 , ω 2 , · · · , ω N }，且满足
[ ] −2
N N
∑ ∑ 1
2
2
⟨δC AB (ω i )δC AB (ω j )⟩ = Σ (ω i )δ ij , (17) p(ω n ) p (ω n ) > , (25)
∗
N
其中，δ 函数是克罗内克δ 函数。一般只要 n=1 n=1
2π 其中，等号在 p(ω n ) 为常数时成立，这也是为什么在
∆ω = ω i+1 − ω i > , (18)
∆T 噪声互相关中频域白化的操作往往能够减少累积
公式(17)的条件便能够满足，这时 时间的原因。因此结合公式(19) 可以得到累积时间
B∆T
N = . (19) T 的下界：
2π 3 2 2 2
在上面的假设下， T > 576π r r ω 0 . (26)
B
A
2 2
2
[ ] c ε (r 3A )f (ω 0 )B
N
∑
δc AB (t) = Re δC AB (ω n ) exp(−iω n t) , (20) 从公式 (26) 可知，利用一对接收器噪声互相关
n=1 进行目标探测所需的最短累积时间既与散射信号
从公式(20)可以看出，δc AB (t)的均值为0，标准差
的强度有关，也与稳相点处噪声源的强度和噪声的
v
√ u N
⟨ ⟩ u ∑ 带宽有关，稳相点处的噪声源强度越强、噪声可用
2 1 2
|δc AB (t)| = t p (ω n ). (21)
2N t 的带宽越宽，则所需的累积时间越小。
n=1