Page 7 - 201806

第 37 卷 第 6 期 刘建全等： 钢轨缺陷的超声相控阵波数成像算法 837

2.1 自发自收模式频率波数实现图像重建 其中，k u 是与阵元相关联的波数，波数 k = ω/c，
P(ω) 是发送信号的频谱，为了求出图像信息，必须
对于自发自各阵元采用爆炸模式，考虑到自
使用 Stolt 插值进行非线性坐标变换，即从接收的
发自收的声程是阵元到缺陷目标距离的 2 倍，由
信号E(k u , ω)变换到F(k x , k z )的变换。重建目标首
Wely’s性质得到每个阵元的频域响应为 [8,10−11]
先对所有阵元接收的信号进行二维傅里叶变换，由
图 3 可知在k x − ω 域中数据均匀分布，而在k x − k z
F(k x , k z )
, (1)
E(k u , ω) = P(ω)√ 域中数据非均匀分布，因此无法进行傅里叶变换操
2
4k − k 2
u
作；然后必须使用插值的方法求出一个均匀的数据
k x = k u , (2)
分布，满足逆傅里叶变换的要求；最后再进行二维傅
√
2
2
k z = 4k − k , (3) 里叶反变换实现对缺陷目标的重建。
u
ω k z

O k x O k x
(a) ଌஆηՂښk x -w۫ᄊѬ࣋ྲག (b) ଌஆηՂښk x -k z ۫ᄊѬ࣋ྲག
图 3 从 k x − ω 域变换到 k x − k z 域
Fig. 3 Transform from k x − ω domain to k x − k z domain

2.2 全矩阵模式波算法实现图像重建 代。将式(5)带入式(4)重写接收响应公式得到
超声相控阵的收发系统几何图形如图 1 所示，
E(ω, u, v)
沿着 x 轴方向发射阵元表示为 T x ，接收阵元表示为 −1 ∫∫ exp(jk u u + jk v v) [ ∫∫
R x ，图1 中一个发射和一个接收阵元关于原点的坐 = P(ω) (4π) 2 √ 2 2 √ 2 2 f(x, z)
k − k
u k − k v
标分别为 (u, 0)、(v, 0)，发射阵元和接收阵元到缺陷 ( √
2
× exp − j(k u + k v )x − j( k − k u 2
目标的距离分别表示为 ρ in 、ρ out 。每个发射接收阵
]
)
√
元组合对的频率响应为 [3,5,8] + k − k )z dxdz dk u dk v , (6)
2
2
v
E(v, u, ω)
其中，波数 k u 和k v 分别对应于发射阵元 (u, 0) 和接
∫∫
= P(ω) f(x, z)g(ρ in , ω)g(ρ out , ω)dxdz, (4) 收阵元 (v, 0)，为了实现将积分转换二维傅里叶变
√ √ 换，对变量u和v 进行傅里叶变换得到
2
其中，ρ in = (x−u) +z ，ρ out = (x−v) +z ，
2
2
2
E(v, u, ω) 是 发 射 接 收 阵 元 组 合 对 接 收 信 号 E(ω, k u , k v )
e(v, u, t)的频率响应，P(ω)是发送信号的频谱，ω 是 −F(k u + k v , √ k − k + √ k − k )
2
2
2
2
u
v
角频率，f(x, z) 是缺陷目标的点散函数，g(ρ in , ω)和 = P(ω) 2 √ 2 2 √ 2 2 , (7)
k − k
(4π)
u k − k v
g(ρ out , ω) 分别是发射接收路径下的空间格林函数
其中，F 是点散射函数的 f(x, z) 的傅里叶变换，为
频率响应。Callow等 [3] 证明了格林函数为
了求得图像域，反变换模型为 [3,8]
g(x, z, ω)
ˆ
F(k x , k z )
√
∫
2
−j exp(−j|z| k − k + jk x x) {
2
x
= √ dk x , (5) 2 −1 √ 2 2 √ 2 2 ∗
4π k − k 2 x = − (4π) S k − k u k − k P (ω)
2
v
}
其中，波数 k x 和 k z 分别对应二维坐标变量 x 和 z， × E(ω, k u , k v ) , (8)
变量 ρ 被变量 x 和 z 代替了，g(ρ, ω) 被 g(x, z, ω) 取