Page 21 - 201901

第 38 卷 第 1 期 孙兆永等： 共形 Mikaelian 声透镜设计 17

分别为 z = x + iy 和 ω = u + iv。则在三个空间中
0 引言 的声波方程分别为

2
2
Mikaelian 透镜是一种具有柱对称折射率的自 ∇ p + k p = 0, (1)
聚焦器件 [1] ，其折射率在宽度方向呈现出关于中心 ∇ p + n k p = 0, (2)
2
2 2
z
z
轴对称的反双曲余弦分布。由于它有着良好的自聚 2 2 2
∇ p + n k p = 0, (3)
ω
ω
焦能力，因此在成像及信息传递方面有着极其重要
其中，∇、∇ z 和∇ ω 分别为三个空间的坐标系所对应
的应用价值。二维Mikaelian透镜是矩形的，它的参
的导数算子，k 是声波在背景介质中的波矢。为了方
数分布规律确定，因此利用近些年发展起来的梯度
便起见，分别称空间 Ω 和空间 Ω 为虚空间和物理
′
折射率超材料就可以很容易地实现。在某些场景
空间。假设虚空间的声学参量为已知，则利用声波
下，需要在聚焦的同时令波的传播路径发生一定的
方程的协变性，通过映射 ω = ω(z) 可以求得虚空间
偏转，普通的 Mikaelian透镜显然无法满足需求。如
和物理空间的折射率之间满足 [3]
何设计出一款集自聚焦与波束偏转两功能于一身
dz
的声学器件是一个研究热点。近些年发展起来的变 n ω = n z . (4)
dω
换理论为此提供了一种实现的可能性 [2−4] 。变换声
方程(4)建立了虚空间和物理空间之间的联系，
学理论通过坐标变换的方法将器件的声学参数与
通过求解此方程便可得到物理空间的折射率分布，
空间变换紧密地联系起来，并被广泛地应用于声学
从而求出其声学参量。需要指出的是，方程(4)等号
隐身 [5] 、声学偏转装置 [6−7] 等声学器件的设计。本
右边分别与映射关系 ω = ω(z) 和虚空间参数相关。
文提出了利用共形变换理论设计声学器件的一般
因此，声学器件的参数分布共同取决于虚空间参数
方法，并利用指数映射设计出了弧形的 Mikaelian
分布和具体的映射关系。相同的虚空间，不同的映
透镜，解析地分析了所设计弧形透镜的参数分布规
射可能得到不同参数分布的声学器件；同理，相同的
律。仿真结果显示，该透镜在产生自聚焦效应的同 映射，不同的虚空间也会得到不同参数分布的器件。
时能够很好地令声波偏转一定的角度。 为了设计出弧形 Mikaelian 透镜，首先需要了
解普通 Mikaelian 透镜的声学特性。然后在此基础
1 共形变换在超材料器件设计中的应用
上，利用方程 (4) 得到弧形 Mikaelian 透镜的折射率
共形变换是指一个曲面到另一个曲面之间能 分布。
够保持微小区域相似性的映射，在理论物理及工程
应用方面有着重要的用途 [8] ，而在变换声学中，它
为设计二维及三维轴对称各向同性声学器件提供
了方便简洁的参数求解方法。由于共形变换通常用
复变函数描述更方便，因此在这里将用复空间进行
讨论。本节主要讨论基于共形变换的二维声学器件
图 1 共形变换声学示意图
设计方法，三维轴对称器件可以利用将二维器件绕
Fig. 1 A schematic diagram of conformal trans-
主轴旋转的方法实现，而普通的三维器件无法用共
formation acoustics
形变换实现。图1展示了共形变换声学的过程，Ω 空
间和 Ω 空间分别为已知参数分布的声学器件和待 2 普通Mikaelian透镜的自聚焦效应
′
定参数的声学器件。在两个声学器件空间中建立映
Mikaelian透镜是由A. L. Mikaelian在1951年
射关系便可利用声波方程的协变性得到两器件的
设计的一种自聚焦柱对称介质。这种介质的折射
参数关系。设背景空间，Ω 空间和 Ω 空间的密度和
′
率n r 从边缘到中心轴成反双曲余弦增加，可表达如
模量分别为 ρ 0 和 K 0 ，ρ z 和 K z ，ρ ω 和 K ω ，Ω 空间和
下 [1] ：
Ω 空间相对背景介质的折射率分别为 n z 和n ω 。由
′
n 0
于背景介质在后文中不详细讨论，因此其坐标系在 n r = ( π ), (5)
cosh r
这里不给予详细描述。Ω 空间和 Ω 空间的坐标系 2l
′