Page 23 - 201901

第 38 卷 第 1 期 孙兆永等： 共形 Mikaelian 声透镜设计 19

能量主要集中在离中心轴约 0.02 m 的狭窄区域内， 考虑到 z = A ln(ω/r 0 )，因此，x = A ln(r/r 0 )，
这表明透镜有着良好的聚焦能力。在y = 2l 处声波 y = Aθ，则方程(12)可写为
能量较平缓的分布在离中心轴约 0.08 m 的区域内， n z Ar 0 A n c
n ω = = ( )
波束恢复到入射波的形状。 r r cosh π Aln r
以上是对普通 Mikaelian 声透镜聚焦效应的分 2l r 0
A n c
析。根据第 1 节的理论，可以利用共形映射在普通 = ( π r ), (13)
r cosh ln
Mikaelian透镜的基础上设计出弧形的自聚焦透镜。 2f r 0
这里 ϕ = l/A 是弧形透镜焦点所在的角度，由参数
3 基 于 指 数 映 射 的 弧 形 Mikaelian 透 镜 A 与原透镜焦距共同决定。根据前文分析，则共形
设计 透镜的密度和模量分别为

ρ 0 c 0
根据第1节的分析，将普通Mikaelian透镜看做 ρ ω = = ρ 0 n ω , (14)
c ω
虚空间，通过共形变换可以实现弧形 Mikaelian 透 (ρ 0 c 0 ) 2 K 0
镜的设计。在共形变换中，指数映射可以将一个矩 K ω = ρ ω = n ω . (15)
形区域映射到一个环形区域，因此为设计弧形透镜 取 A = r 0 = 0.5 m，则带入可得 r 1 = 0.40 m，
提供了思路。该设计的变换过程如图4所示。 r 2 = 0.61 m，弧形透镜焦点所在角度 ϕ = 0.80 rad，
如图 5(a) 所示，透镜的圆心角为 θ 0 = 4ϕ。弧形
e θ Mikaelian透镜沿径向的折射率分布如图 5(b)所示，
e r
ω↼z↽/e z
y 可以看到，与普通 Mikaelian 透镜不同的是，弧形
x
Mikaelian 透镜的折射率约在 r f = 0.495 m 而非宽
z/x⇁iy
ω/u⇁iv/re iθ
度的中心 r c = (r 2 − r 1 )/2 = 0.505 m 处达到最大，
Mikaelianᤩ᪫ ऻॎMikaelianᤩ᪫
折射率并不成对称分布，这也与公式 (13) 所描述的
图 4 指数映射将 Mikaelian 透镜映射成弧形 相吻合。这是由指数映射本身的不对称性决定的，
Fig. 4 From ordinary Mikaelian lens to curved 透镜焦点的位置与映射的参数关系较密切，调节指
Mikaelian lens by exponential mapping 数映射的参数 A 和 r 0 可以使焦点的位置发生改变，
但同时也会改变透镜的折射率分布。根据公式 (14)
普通Mikaelian透镜的空间用复坐标z = x+iy
和公式 (15)即可得到相应的密度和模量分布。弧形
表示，而弧形透镜的空间用ω = u + iv = r e 表示。
iθ
Mikaelian 透镜归一化的模量和密度分布如图 5(c)
通过共形映射 ω = ω(z) 将 z 空间的普通 Mikaelian
和图5(d) 所示。模量和密度均呈现出角向对称的分
透镜映射到 ω 空间，从而得到共形 Mikaelian 透镜
布模式，而在径向方向，模量在 r f = 0.495 m 处达
的参数分布。根据第2节的理论，只要知道了z 空间
到最小，在两端呈增加趋势，在外径处达到最大；而
到ω 空间的具体映射关系即可得到其参数分布。为
密度的分布恰与模量相反，与公式 (14) 和公式 (15)
了计算的简洁，设映射关系为
比较一致。
z
ω(z) = r 0 e A , (10) 需要指出的是，利用共形变换所设计的弧形透
镜是各向同性的，而弧形透镜的实现并不唯一地取
其逆映射为
决于共形映射，其他映射也可以实现，但映射的选取
ω r e iθ
z = A ln = Aln , (11) 会影响到透镜参数的分布。
r 0 r 0
为了验证所设计共形透镜的声学效果，对其
其中，r 0 和 A 都是常数，它们决定了共形透镜的内
进行数值仿真模拟。仿真过程在商业有限元软件
外半径和圆心角 ϕ。由方程 (4) 和方程 (6) 可得共形
COMSOL Multiphysics 中进行。共形透镜的背景
透镜的折射率分布为
介质为水，如图 6(a) 所示，频率为 160 kHz 中心声
n z A n c A
n ω = = ( ) . (12) 压为 1 Pa 的高斯束从 y = 0.495 m 处向右入射，分
r cosh π x r
2l 别在θ = ϕ 和θ = 3ϕ处各聚焦一次，并在θ = 2ϕ和