Page 229 - 应用声学2019年第4期
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第 38 卷 第 4 期            高善国等: 正交曲线坐标系在变化地形声场计算中的应用                                          689

             0 引言                                              1 Helmholtz方程在一般正交曲线坐标系
                                                                  的表达式
                 正交曲线坐标系坐标线可为曲线,是满足过任
             何一点的坐标曲线都要两两垂直的曲线坐标系。通                                声场计算一般需要在频域中求解Helmholtz 方
             常使用的坐标系大都为正交曲线坐标系,比如直角                            程。在本节,基于坐标系间的变换理论,从直角坐标
             坐标系、柱坐标系、球坐标系等。                                   系出发推导 Helmholtz方程在正交曲线坐标系的普
                 声场计算问题不依赖于坐标系,但合适的坐标                          适性表达式。众所周知,在海水等密度情况下若设
             系能极大简化求解过程,提高计算精度,甚至可得到                           p(x, y, z) 为声压,则 Helmholtz 方程在直角坐标系
             Helmholtz 方程的解析解。以海洋中点声源和线声                       (x, y, z)中的形式为
                                                                                 2
                                                                                       2
             源问题为例,点声源通常使用轴向垂直并过声源的                                            ∇ p + k p = 0,             (1)
             柱坐标系进行求解,而线声源通常使用直角坐标系                                   2    2   2    2   2    2   2
                                                               其中,∇ = ∂ /∂x + ∂ /∂y + ∂ /∂z ,k(x, y, z) =
             即可。这说明不同的声源类型适合用不同坐标系,                            ω/c(x, y, z) 表 示 角 频 率 为 ω 的 声 波 的 波 数,
             海底地形同样如此,不同的海底地形也有不同的最                            c(x, y, z)为海水声速。
             合适坐标系。                                                假设 (λ, ξ, η) 为某正交曲线坐标系,则其与直
                 实际上,曲线坐标系已经在很多科学领域进行                          角坐标系(x, y, z)的坐标变换关系为
             了大量应用     [1] 。在物理海洋学领域,σ-坐标系、等密                                 
                                                                               λ = λ(x, y, z),
                                                                              
             度坐标系以及混合坐标系都有很成熟的应用。例如,                                          
                                                                              
                                                                                 ξ = ξ(x, y, z),          (2)
             常用的海洋模式 MITgcm 使用直角坐标系,Hycom                                     
                                                                              
                                                                              
                                                                                η = η(x, y, z).
             使用混合坐标系,MICOM使用等密度坐标系,特别
             是ROMS模式,主要处理近海区域海流受海底地形                           由此可知,
                                                                         
             影响的情况,采用与海底地形相符合的 σ-坐标系。                                     p x = p λ λ x + p ξ ξ x + p η η x ,
                                                                         
                                                                         
                                                                         
             在地球物理领域,在同样受 Helmholtz 方程控制的                                  p y = p λ λ y + p ξ ξ y + p η η y ,  (3)
             地震波计算中使用曲线坐标系,可以提高计算模型                                      
                                                                         
                                                                         
                                                                           p z = p λ λ z + p ξ ξ z + p η η z .
             的计算精度和应用范围           [2−3] 。
                                                               进一步地,
                 在声场计算问题中,坐标系的选取主要由声源                          
                                                                              2          2         2
             类型和计算区域边界的几何特征决定                  [4] 。点声源问        p xx = p λλ (λ x ) + p ξξ (ξ x ) + p ηη (η x )
                                                               
                                                               
                                                               
                                                               
                                                               
             题在直角坐标系、球坐标系、柱坐标系都可求解,但                                  + 2p λξ λ x ξ x + 2p λη λ x η x + 2p ξη ξ x η x
                                                               
                                                               
                                                               
                                                               
             如果同时考虑海洋分层结构及水平海底,最适合的                                   + p λ λ xx + p ξ ξ xx + p η η xx ,
                                                               
                                                               
                                                               
                                                               
             坐标系是轴向垂直并过声源的柱坐标系。水平海底                                          2          2         2
                                                               p yy = p λλ (λ y ) + p ξξ (ξ y ) + p ηη (η y )
                                                               
                                                               
                                                               
             情况下的线声源,最合适的坐标系是直角坐标系,                                                                       (4)
                                                                       + 2p λξ λ y ξ y + 2p λη λ y η y + 2p ξη ξ y η y
             而如果是斜坡海底,则最合适的坐标系是轴向与线                            
                                                               
                                                               
                                                                      + p λ λ yy + p ξ ξ yy + p η η yy ,
                                                               
                                                               
             声源平行的柱坐标系。通常海底地形有各种复杂情                                          2         2          2
                                                               
                                                               
                                                               p zz = p λλ (λ z ) + p ξξ (ξ z ) + p ηη (η z )
                                                               
             况,给声场计算带来不少困难。利用海底地形选取                            
                                                               
                                                               
                                                               
                                                               
             合适的正交曲线坐标系进行声场计算是一个必要                                    + 2p λξ λ z ξ z + 2p λη λ z η z + 2p ξη ξ z η z
                                                               
                                                               
                                                               
                                                                      + p λ λ zz + p ξ ξ zz + p η η zz .
             且重要的研究课题。类似于水平海底在直角坐标系
             的情况,某些与坐标曲线相符合的典型海底也可在                            坐标系(λ, ξ, η)满足正交性,即
             相应的正交曲线坐标系中利用分离变量法求取解                                    ∇λ · ∇ξ = ∇λ · ∇η = ∇ξ · ∇η = 0.    (5)
             析解  [5−6] 。
                                                                   利用式 (1)、式 (4)、式 (5),可得坐标系 (λ, ξ, η)
                 本文首先从 Helmholtz方程在正交曲线坐标系
                                                               内Helmholtz方程的形式为
             中的普适性表达式出发,研究基于海底地形的正交
                                                                       2          2          2
                                                                   |∇λ| p λλ + |∇ξ| p ξξ + |∇η| p ηη
             曲线坐标系选取规则,并结合简正波理论,展示其在
                                                                                        2
                                                                                                2
                                                                                2
                                                                       2
             多种典型海底情况下线源声场计算问题中的应用。                                + ∇ λp λ + ∇ ξp ξ + ∇ ηp η + k p = 0,  (6)
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