Page 229 - 应用声学2019年第4期

第 38 卷 第 4 期 高善国等： 正交曲线坐标系在变化地形声场计算中的应用 689

0 引言 1 Helmholtz方程在一般正交曲线坐标系
的表达式
正交曲线坐标系坐标线可为曲线，是满足过任
何一点的坐标曲线都要两两垂直的曲线坐标系。通 声场计算一般需要在频域中求解Helmholtz 方
常使用的坐标系大都为正交曲线坐标系，比如直角 程。在本节，基于坐标系间的变换理论，从直角坐标
坐标系、柱坐标系、球坐标系等。 系出发推导 Helmholtz方程在正交曲线坐标系的普
声场计算问题不依赖于坐标系，但合适的坐标 适性表达式。众所周知，在海水等密度情况下若设
系能极大简化求解过程，提高计算精度，甚至可得到 p(x, y, z) 为声压，则 Helmholtz 方程在直角坐标系
Helmholtz 方程的解析解。以海洋中点声源和线声 (x, y, z)中的形式为
2
2
源问题为例，点声源通常使用轴向垂直并过声源的 ∇ p + k p = 0, (1)
柱坐标系进行求解，而线声源通常使用直角坐标系 2 2 2 2 2 2 2
其中，∇ = ∂ /∂x + ∂ /∂y + ∂ /∂z ，k(x, y, z) =
即可。这说明不同的声源类型适合用不同坐标系， ω/c(x, y, z) 表 示 角 频 率 为 ω 的 声 波 的 波 数，
海底地形同样如此，不同的海底地形也有不同的最 c(x, y, z)为海水声速。
合适坐标系。 假设 (λ, ξ, η) 为某正交曲线坐标系，则其与直
实际上，曲线坐标系已经在很多科学领域进行 角坐标系(x, y, z)的坐标变换关系为
了大量应用 [1] 。在物理海洋学领域，σ-坐标系、等密 
 λ = λ(x, y, z),

度坐标系以及混合坐标系都有很成熟的应用。例如， 

ξ = ξ(x, y, z), (2)
常用的海洋模式 MITgcm 使用直角坐标系，Hycom 


 η = η(x, y, z).
使用混合坐标系，MICOM使用等密度坐标系，特别
是ROMS模式，主要处理近海区域海流受海底地形 由此可知，

影响的情况，采用与海底地形相符合的 σ-坐标系。  p x = p λ λ x + p ξ ξ x + p η η x ,



在地球物理领域，在同样受 Helmholtz 方程控制的 p y = p λ λ y + p ξ ξ y + p η η y , (3)
地震波计算中使用曲线坐标系，可以提高计算模型 


 p z = p λ λ z + p ξ ξ z + p η η z .
的计算精度和应用范围 [2−3] 。
进一步地，
在声场计算问题中，坐标系的选取主要由声源 
2 2 2
类型和计算区域边界的几何特征决定 [4] 。点声源问  p xx = p λλ (λ x ) + p ξξ (ξ x ) + p ηη (η x )





题在直角坐标系、球坐标系、柱坐标系都可求解，但  + 2p λξ λ x ξ x + 2p λη λ x η x + 2p ξη ξ x η x




如果同时考虑海洋分层结构及水平海底，最适合的  + p λ λ xx + p ξ ξ xx + p η η xx ,




坐标系是轴向垂直并过声源的柱坐标系。水平海底  2 2 2
p yy = p λλ (λ y ) + p ξξ (ξ y ) + p ηη (η y )



情况下的线声源，最合适的坐标系是直角坐标系， (4)
+ 2p λξ λ y ξ y + 2p λη λ y η y + 2p ξη ξ y η y
而如果是斜坡海底，则最合适的坐标系是轴向与线 


 + p λ λ yy + p ξ ξ yy + p η η yy ,


声源平行的柱坐标系。通常海底地形有各种复杂情  2 2 2


p zz = p λλ (λ z ) + p ξξ (ξ z ) + p ηη (η z )

况，给声场计算带来不少困难。利用海底地形选取 




合适的正交曲线坐标系进行声场计算是一个必要  + 2p λξ λ z ξ z + 2p λη λ z η z + 2p ξη ξ z η z



 + p λ λ zz + p ξ ξ zz + p η η zz .
且重要的研究课题。类似于水平海底在直角坐标系
的情况，某些与坐标曲线相符合的典型海底也可在 坐标系(λ, ξ, η)满足正交性，即
相应的正交曲线坐标系中利用分离变量法求取解 ∇λ · ∇ξ = ∇λ · ∇η = ∇ξ · ∇η = 0. (5)
析解 [5−6] 。
利用式 (1)、式 (4)、式 (5)，可得坐标系 (λ, ξ, η)
本文首先从 Helmholtz方程在正交曲线坐标系
内Helmholtz方程的形式为
中的普适性表达式出发，研究基于海底地形的正交
2 2 2
|∇λ| p λλ + |∇ξ| p ξξ + |∇η| p ηη
曲线坐标系选取规则，并结合简正波理论，展示其在
2
2
2
2
多种典型海底情况下线源声场计算问题中的应用。 + ∇ λp λ + ∇ ξp ξ + ∇ ηp η + k p = 0, (6)