Page 231 - 应用声学2019年第4期
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第 38 卷 第 4 期            高善国等: 正交曲线坐标系在变化地形声场计算中的应用                                          691


                                                               的两组曲线。若计 P 点横坐标为 x 0 = C 2 /C 1 ,则可
                                                               设新坐标变量如下:
                  ງए                                                                      (   z   )
                                                                 
                                                                 
                    x                                            ϕ = arctan(C 1 F) = arctan         ,
                               z=f↼x↽                                                        x 0 − x     (21)
                    z                                                         √
                                                                     √                     2
                                    ᡰሏ                            ρ =  2G =    z + (x − x 0 ) .
                                                                                 2
                                                                 
                图 1  随水平变化的地形及与其适应的坐标系曲线                       (ρ, ϕ) 是二维正交曲线坐标系,扩展到三维是一个
               Fig. 1 A non-flat seafloor and its corresponding  标准的横向柱坐标系。众所周知,线源情况下斜坡
               coordinate curves                               海底有解析解时,就是要通过这种坐标系求解                     [7−9] 。
                                                               利用本文方法很容易得到同样结果。根据式(10) 可
                 据第 1 节的讨论, 可以求出在新坐标系下
                                                               得此时Helmholtz方程为
             Helmholtz 方程的具体表示形式。存在实数域上
                                                                              1      1
                                                                                             2
             单调可微函数a、b,使得                                               p ρρ + p ρ +  p ϕϕ + k p = 0.    (22)
                                                                              ρ     ρ 2
                                       (  f  )
                ∇λ = a (G)∇G = a (G)      , z ,
                                    ′
                         ′
                
                                                                                                      P
                                         f  ′
                                                       (18)
                                       (    ′  )
                                         zf
                       ′          ′
                ∇η = b (F)∇F = b (F) −      , 1 .
                                           f
             进而                                                     ງए
             
                            (  f 2   )
                  2   ′2           2
             |∇λ| = a (G)       + z  ,
             
                             f ′2
             
             
             
                           ( 2 ′2    )
                            z f
                 2    ′2
             |∇η| = b (F)         + 1 ,
             
                               2
                              f                                                      ᡰሏ
                           (  2     )       (       ′′  )
                           f                    ff
                2
              ∇ λ = a (G)     + z 2    ′              ,             图 2  斜坡地形及其决定的双曲正交坐标系
                      ′′
             
                            ′2      + a (G) 2 −   ′2
                           f                     f
             
             
                         (                                       Fig. 2 A wedge problem and suitable orthogonal
                            2 ′2    )       (   ′2
                           z f                zf    zf  ′′ )
               2
                      ′′
             ∇ η = b (F)        + 1 + b (F)       −      .       curvilinear coordinates
                                         ′
             
                             f  2              f 2    f
                                                       (19)    3 横向柱坐标系中的线源问题
             将式 (19) 代入式 (10) 可得到新的 Helmholtz 方程,
             注意此时方程的系数仍是关于 (x, z) 变量的,如果                           本节中,结合简正波方法与第 2 节得到的横向
                                                               柱坐标系的 Helmholtz方程对某些典型海底地形的
             能将之化为关于 (λ, η) 变量的函数,则方程会简化
                                                               声场计算问题进行研究说明。为讨论方便,所涉及
             并可进行求解。
                                                               的海底及海面边界条件均为理想边界条件。
                 进一步讨论之前,给出一个简单例子,如图 2
                                                                   简正波方法主要思想是利用分离变量法进行
             所示,考虑海底是斜坡的情况。设斜坡由函数
                                                               求解,假设方程(22)的分离变量解为
             z = −C 1 x + C 2 描述 (C 1 、C 2 为某实数),则根据
             定理有                                                             p(ρ, ϕ) = Λ(ρ)Φ(ϕ).         (23)
                    
                    F = z − C 1 x + C 2 ,                     将式(23)代入方程(22)整理得
                    
                                                                         (                )
                                                                        2                        ′′
                                ∫                                      ρ        1               Φ
                                                                                       2
                                                                                    ′
                                                                             ′′
                          1  2    −C 1 x + C 2                             Λ + Λ + k Λ      = −    .    (24)
                      G =   z +               dx       (20)             Λ        ρ               Φ
                           2           −C 1
                    
                                                              方程 (24) 两边各自与不同的自变量有关,从而应该
                                  (       ) 2
                    
                          1     1      C 2
                             2
                        =   z +    x −      .                 为一常数,设为 τ,则方程 (24)转化为如下两个常微
                           2     2      C 1
                                                               分特征值问题:
             其 中, 第 二 式 中 省 略 了 一 个 常 数。 易 知
             {F(x, z, C) = 0} 描述的曲线族是从 P 点出发的                           Φ + τΦ = 0,                      (25)
                                                                          ′′
                                                                                    (       )
             射线,{G(x, z, C) = 0} 描述的曲线族是以P 点为圆                                1       2   τ
                                                                          ′′
                                                                                ′
                                                                        Λ + Λ + k −           Λ = 0.     (26)
             心的同心圆,如图2 所示,很明显它们构成相互正交                                         ρ           ρ 2
   226   227   228   229   230   231   232   233   234   235   236