Page 231 - 应用声学2019年第4期
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第 38 卷 第 4 期 高善国等: 正交曲线坐标系在变化地形声场计算中的应用 691
的两组曲线。若计 P 点横坐标为 x 0 = C 2 /C 1 ,则可
设新坐标变量如下:
ງए ( z )
x ϕ = arctan(C 1 F) = arctan ,
z=f↼x↽ x 0 − x (21)
z √
√ 2
ᡰሏ ρ = 2G = z + (x − x 0 ) .
2
图 1 随水平变化的地形及与其适应的坐标系曲线 (ρ, ϕ) 是二维正交曲线坐标系,扩展到三维是一个
Fig. 1 A non-flat seafloor and its corresponding 标准的横向柱坐标系。众所周知,线源情况下斜坡
coordinate curves 海底有解析解时,就是要通过这种坐标系求解 [7−9] 。
利用本文方法很容易得到同样结果。根据式(10) 可
据第 1 节的讨论, 可以求出在新坐标系下
得此时Helmholtz方程为
Helmholtz 方程的具体表示形式。存在实数域上
1 1
2
单调可微函数a、b,使得 p ρρ + p ρ + p ϕϕ + k p = 0. (22)
ρ ρ 2
( f )
∇λ = a (G)∇G = a (G) , z ,
′
′
P
f ′
(18)
( ′ )
zf
′ ′
∇η = b (F)∇F = b (F) − , 1 .
f
进而 ງए
( f 2 )
2 ′2 2
|∇λ| = a (G) + z ,
f ′2
( 2 ′2 )
z f
2 ′2
|∇η| = b (F) + 1 ,
2
f ᡰሏ
( 2 ) ( ′′ )
f ff
2
∇ λ = a (G) + z 2 ′ , 图 2 斜坡地形及其决定的双曲正交坐标系
′′
′2 + a (G) 2 − ′2
f f
( Fig. 2 A wedge problem and suitable orthogonal
2 ′2 ) ( ′2
z f zf zf ′′ )
2
′′
∇ η = b (F) + 1 + b (F) − . curvilinear coordinates
′
f 2 f 2 f
(19) 3 横向柱坐标系中的线源问题
将式 (19) 代入式 (10) 可得到新的 Helmholtz 方程,
注意此时方程的系数仍是关于 (x, z) 变量的,如果 本节中,结合简正波方法与第 2 节得到的横向
柱坐标系的 Helmholtz方程对某些典型海底地形的
能将之化为关于 (λ, η) 变量的函数,则方程会简化
声场计算问题进行研究说明。为讨论方便,所涉及
并可进行求解。
的海底及海面边界条件均为理想边界条件。
进一步讨论之前,给出一个简单例子,如图 2
简正波方法主要思想是利用分离变量法进行
所示,考虑海底是斜坡的情况。设斜坡由函数
求解,假设方程(22)的分离变量解为
z = −C 1 x + C 2 描述 (C 1 、C 2 为某实数),则根据
定理有 p(ρ, ϕ) = Λ(ρ)Φ(ϕ). (23)
F = z − C 1 x + C 2 , 将式(23)代入方程(22)整理得
( )
2 ′′
∫ ρ 1 Φ
2
′
′′
1 2 −C 1 x + C 2 Λ + Λ + k Λ = − . (24)
G = z + dx (20) Λ ρ Φ
2 −C 1
方程 (24) 两边各自与不同的自变量有关,从而应该
( ) 2
1 1 C 2
2
= z + x − . 为一常数,设为 τ,则方程 (24)转化为如下两个常微
2 2 C 1
分特征值问题:
其 中, 第 二 式 中 省 略 了 一 个 常 数。 易 知
{F(x, z, C) = 0} 描述的曲线族是从 P 点出发的 Φ + τΦ = 0, (25)
′′
( )
射线,{G(x, z, C) = 0} 描述的曲线族是以P 点为圆 1 2 τ
′′
′
Λ + Λ + k − Λ = 0. (26)
心的同心圆,如图2 所示,很明显它们构成相互正交 ρ ρ 2