Page 230 - 应用声学2019年第4期

690 2019 年 7 月

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其中，∇ = (∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z)，∇ = ∂ /∂x + 使 得 {G(x, z, C) = 0} 描 述 的 曲 线 族 与 曲 线 族
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∂ /∂y + ∂ /∂z ， p 和 k 都 是 关 于 新 坐 标 变 量 {F(x, z, C) = 0} 构成此二维空间的正交曲线坐
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(λ, ξ, η) 的函数。注意算子 ∇ 和 ∇ 仍是关于变量 标系的两组坐标曲线，f (x)是函数f(x)关于x的导
′
(x, y, z) 的。理论上，若知道坐标变换函数并且方 数，g (z)是函数g(z)关于z 的导数。
′
程 (6) 中的所有系数都可以表达为关于 (λ, ξ, η) 的 证明：若这两族曲线是正交的，则其中任何
函数，则方程(6)可在新坐标系(λ, ξ, η)中完全确定。 两条相交的曲线在交点处是垂直的，故在此意义
利用声场计算中常用的柱坐标系对式 (6) 进行 下，这两组曲线是唯一的。因此，只需验证曲线族
验证。若记柱坐标系为(r, φ, z)，则有以下变换关系： {F(x, z, C) = 0} 与曲线族 {G(x, z, C) = 0} 相互正
 y 交便可。由于
 2 2 2 tan φ = , ( )
r = x + y ,
x (7) ∇G = H(x, z) ∂F ∂F , (12)
z = z. ∂z ∂x
 , −
明显地有
根据式 (6)， 在新坐标系 (r, φ, z) 下的 Helmholtz
方程为 ∇F(x, z) · ∇G(x, z)
( )
1 1 2 ∂F ∂F ∂F ∂F
p rr + p φφ + p zz + p r + k p = 0, (8) = H(x, z) − = 0. (13)
r 2 r ∂x ∂z ∂x ∂z
此即为柱坐标系中的 Helmholtz 方程。在水文环境 也即在每一点(x, z)，两族曲线相互正交。
水平不变情况下，p与 φ 无关，可得最常用的柱坐标 当 F(x, z, C) = g(z) + Cf(x) 时，在任意 (˜x, ˜z)
系下二维空间中的简化方程： 点

1 2 ′ ′
p rr + p zz + p r + k p = 0. (9)  ∇F(˜x, ˜z) = (Cf (˜x), g (˜z)) ,

r 
( ) (14)
f(˜x) g(˜z)

,

2 基于地形的正交曲线坐标系选取  ∇G(˜x, ˜z) = f (˜x) g (˜z) .
′
′
由于此时还满足F(˜x, ˜z, C) = 0，也即在 (˜x, ˜z)点，若
为方便计，这里只考虑地形在 y 方向是一致的
f(˜x) ̸= 0，则
情况，并且声源选取y 方向无限延伸的线源，在这种
g(˜z)
情况下声压p与y 无关，方程(6)可简化为 C = − , (15)
f(˜x)
2 2 2 2 2
|∇λ| p λλ + |∇η| p ηη + ∇ λp λ +∇ ηp η + k p=0. 从而，
(10)
∇F(˜x, ˜z) · ∇G(˜x, ˜z) = −g(˜z) + g(˜z) = 0. (16)
由于此时所有变量都与 y 无关，所以只需在二维空 若 f(˜x) = 0 时，根据 F(˜x, ˜z, C) = 0，有 g(˜z) = 0，
间 (x, z) 内讨论就可以了。设海底地形由连续可微 则仍然有 ∇F(˜x, ˜z) · ∇G(˜x, ˜z) = 0，从而在每一点
函数 z = h(x) 来描述，现在来寻求由其决定的新正 (˜x, ˜z)，两族曲线相互正交。定理证毕。
交坐标系(λ, η)。 根据定理描述，要得到地形相关的正交曲线
首先，证明如下定理。 坐标系，只需找到直角坐标系下满足条件的曲线
定 理 二 维 空 间 (x, z) 中 对 某 不 相 交 曲 族。海底由函数 z = f(x) 描述，考察满足如下条件
线 族 {F(x, z, C) = 0}， 若 存 在 另 一 曲 线 族 的曲线族 {F(x, z, C) = z − Cf(x) = 0}，则 C = 0
{G(x, z, C) = 0}， 存 在 某 函 数 H(x, z)， 使 时，有 z = 0 表示海面；C = 1 时，有 z = f(x)
得 ∇G = H(x, z)(∂F/∂z, −∂F/∂x)， 则 曲 线 族 表示海底。所以，当 C 在 [0, 1] 内变化时得到的曲
{F(x, z, C) = 0} 和 {G(x, z, C) = 0} 构成这二维 线族描述了整个水体，如图 1 所示。根据定理，
空间某正交曲线坐标系的两组坐标曲线。特别地， 与曲线族 {F(x, z, C) = 0} 正交的另一族曲线族
若 F(x, z, C) = g(z) + Cf(x)，f(x)、g(z) 均为可微 {G(x, z, C) = 0}可以确定，
函数，则 z 2 ∫ f(x)
G(x, z, C) = + dx + C, (17)
∫ ∫
g(z) f(x) 2 f (x)
′
G(x, z, C) = dz + dx + C, (11)
g (z) f (x) 进而确定了所要寻求的正交曲线坐标系(λ, η)。
′
′