Page 230 - 应用声学2019年第4期
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                                                       2
                                                   2
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             其中,∇ = (∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z),∇ = ∂ /∂x +             使 得 {G(x, z, C) = 0} 描 述 的 曲 线 族 与 曲 线 族
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             ∂ /∂y + ∂ /∂z , p 和 k 都 是 关 于 新 坐 标 变 量           {F(x, z, C) = 0} 构成此二维空间的正交曲线坐
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             (λ, ξ, η) 的函数。注意算子 ∇ 和 ∇ 仍是关于变量                   标系的两组坐标曲线,f (x)是函数f(x)关于x的导
                                                                                    ′
             (x, y, z) 的。理论上,若知道坐标变换函数并且方                      数,g (z)是函数g(z)关于z 的导数。
                                                                   ′
             程 (6) 中的所有系数都可以表达为关于 (λ, ξ, η) 的                      证明:若这两族曲线是正交的,则其中任何
             函数,则方程(6)可在新坐标系(λ, ξ, η)中完全确定。                    两条相交的曲线在交点处是垂直的,故在此意义
                 利用声场计算中常用的柱坐标系对式 (6) 进行                       下,这两组曲线是唯一的。因此,只需验证曲线族
             验证。若记柱坐标系为(r, φ, z),则有以下变换关系:                     {F(x, z, C) = 0} 与曲线族 {G(x, z, C) = 0} 相互正
                                             y                交便可。由于
                        2    2    2   tan φ =  ,                                     (          )
                        r = x + y ,
                                              x         (7)              ∇G = H(x, z)   ∂F    ∂F  ,      (12)
                        z = z.                                                          ∂z    ∂x
                                                                                          , −
                                                               明显地有
             根据式 (6), 在新坐标系 (r, φ, z) 下的 Helmholtz
             方程为                                                      ∇F(x, z) · ∇G(x, z)
                                                                             (                )
                         1             1     2                                 ∂F ∂F    ∂F ∂F
                   p rr +  p φφ + p zz + p r + k p = 0,  (8)        = H(x, z)         −         = 0.     (13)
                         r 2           r                                       ∂x ∂z    ∂x ∂z
             此即为柱坐标系中的 Helmholtz 方程。在水文环境                      也即在每一点(x, z),两族曲线相互正交。
             水平不变情况下,p与 φ 无关,可得最常用的柱坐标                             当 F(x, z, C) = g(z) + Cf(x) 时,在任意 (˜x, ˜z)
             系下二维空间中的简化方程:                                     点
                                                                        
                                  1      2                                               ′    ′
                       p rr + p zz + p r + k p = 0.     (9)              ∇F(˜x, ˜z) = (Cf (˜x), g (˜z)) ,
                                                                        
                                  r                                     
                                                                                     (           )       (14)
                                                                                       f(˜x) g(˜z)
                                                                        
                                                                                            ,
                                                                        
             2 基于地形的正交曲线坐标系选取                                            ∇G(˜x, ˜z) =  f (˜x) g (˜z)  .
                                                                                        ′
                                                                                              ′
                                                               由于此时还满足F(˜x, ˜z, C) = 0,也即在 (˜x, ˜z)点,若
                 为方便计,这里只考虑地形在 y 方向是一致的
                                                               f(˜x) ̸= 0,则
             情况,并且声源选取y 方向无限延伸的线源,在这种
                                                                                       g(˜z)
             情况下声压p与y 无关,方程(6)可简化为                                              C = −      ,             (15)
                                                                                       f(˜x)
                 2          2        2       2       2
             |∇λ| p λλ + |∇η| p ηη + ∇ λp λ +∇ ηp η + k p=0.   从而,
                                                       (10)
                                                                  ∇F(˜x, ˜z) · ∇G(˜x, ˜z) = −g(˜z) + g(˜z) = 0.  (16)
             由于此时所有变量都与 y 无关,所以只需在二维空                          若 f(˜x) = 0 时,根据 F(˜x, ˜z, C) = 0,有 g(˜z) = 0,
             间 (x, z) 内讨论就可以了。设海底地形由连续可微                       则仍然有 ∇F(˜x, ˜z) · ∇G(˜x, ˜z) = 0,从而在每一点
             函数 z = h(x) 来描述,现在来寻求由其决定的新正                      (˜x, ˜z),两族曲线相互正交。定理证毕。
             交坐标系(λ, η)。                                           根据定理描述,要得到地形相关的正交曲线
                 首先,证明如下定理。                                    坐标系,只需找到直角坐标系下满足条件的曲线
                 定 理     二 维 空 间 (x, z) 中 对 某 不 相 交 曲          族。海底由函数 z = f(x) 描述,考察满足如下条件
             线 族 {F(x, z, C) = 0}, 若 存 在 另 一 曲 线 族             的曲线族 {F(x, z, C) = z − Cf(x) = 0},则 C = 0
             {G(x, z, C) = 0}, 存 在 某 函 数 H(x, z), 使            时,有 z = 0 表示海面;C = 1 时,有 z = f(x)
             得 ∇G = H(x, z)(∂F/∂z, −∂F/∂x), 则 曲 线 族            表示海底。所以,当 C 在 [0, 1] 内变化时得到的曲
             {F(x, z, C) = 0} 和 {G(x, z, C) = 0} 构成这二维         线族描述了整个水体,如图 1 所示。根据定理,
             空间某正交曲线坐标系的两组坐标曲线。特别地,                            与曲线族 {F(x, z, C) = 0} 正交的另一族曲线族
             若 F(x, z, C) = g(z) + Cf(x),f(x)、g(z) 均为可微        {G(x, z, C) = 0}可以确定,
             函数,则                                                               z 2  ∫  f(x)
                                                                    G(x, z, C) =   +         dx + C,     (17)
                          ∫           ∫
                             g(z)        f(x)                                    2      f (x)
                                                                                         ′
              G(x, z, C) =        dz +        dx + C, (11)
                             g (z)       f (x)                 进而确定了所要寻求的正交曲线坐标系(λ, η)。
                              ′
                                          ′
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