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第 38 卷 第 4 期 高善国等： 正交曲线坐标系在变化地形声场计算中的应用 695

若假设 下面结合分离变量法，讨论椭圆柱坐标系中的
Helmholtz 方程求解问题 [5] 。假设椭圆柱坐标系为
F(x, z, C)
(γ, φ)，则其与直角坐标系(x, z)的坐标变换关系为
 2 2
 z x
 − − 1, C > 0, z > 0, 
2
= C 2 γ − C 2 (40)  x = γ 0 sinh γ sin φ,
0

z, C = 0, z = 0,  z = γ 0 cosh γ cos φ,

则由当 C = 0 时，z = 0 表示海面；当 C = H 时， 0 6 γ 6 ∞, 0 6 φ 6 φ 0 , π − φ 0 6 φ 6 π. (47)
F(x, z, C) = 0 表示海底。因此具有相同焦点的双
当 φ = φ 0 及 φ = π − φ 0 时，对应海底地形。进而，
曲线族 {F(x, z, C) = 0|C ∈ [0, H]} 可作为正交曲
根据式 (6)，Helmholtz 方程在该椭圆柱坐标系中的
线坐标系的一组坐标曲线。现在根据本文理论寻求
表达式为
另一组坐标曲线。
( 2 2 )
1 ∂ p ∂ p
2
在C > 0时，在计算区域的任一点(x, z)，有 + + k p = 0.
2
2
2
γ (sinh γ + sin φ) ∂γ 2 ∂φ 2
2
0
∂F 2x ∂F 2z
= − 2 , = . (41) (48)
∂x γ − C 2 ∂z C 2
0
即
则 根 据 上 面 的 讨 论， 不 妨 假 设 另 一 族 曲 线
2
2 2
2
∂ p ∂ p γ k
{G(x, z, C) = 0}满足 + + 0 (cosh 2γ − cos 2φ) p = 0.
∂γ 2 ∂φ 2 2
∂G 2z ∂G 2x (49)
= , = . (42)
2
∂x C 2 ∂z γ − C 2
0
利用分离变量法，设p = Γ(γ)Φ(φ)，则有
由 于 在 (x, z) 点 还 有 F(x, z, C) = 0， 利 用 关 系
 2
C 6 H < γ 0 ，可求得  d Γ − (c − 2q cosh 2γ)Γ = 0,


 dγ 2
√
2 2 2 2 2 2 2 2 2 (50)
x + z + γ − (x + z + γ ) − 4γ z 2
0
0
0
2
C = .  d Φ

2  2 + (c − 2q cos 2φ)Φ = 0,

(43) dφ
其中，q = γ k /4，c 为待定常数。式 (50) 中两个方
2 2
将式(43)代入式(42)，整理得 0
程分别为修正 Mathieu 方程和 Mathieu 方程，根据
( ) 2
√ 4 [5,10]
2
2
2 2
2 2
2
2
x +z + (x + z +γ ) −4γ z −γ 0 相关求解理论 ，其解分为两类，偶型解和奇型
0
0
∇G = 2 解。偶型解为
8xzγ
0
( ) 
2x 2z 
× , , (44) Γ(γ) = Ace(iγ, c) + Bfe(iγ, c), (51)
˜2
C
C − γ 2 ˜2
0
 Φ(φ) = Ace(φ, c) + Bfe(φ, c),
其中，
奇型解为
√
2
2
2 2
2 2
2
2
2
x + z + γ + (x + z + γ ) − 4γ z 
0
˜ 2
0
0
C = .
2  Γ(γ) = Ase(iγ, c) + Bge(iγ, c),
(45) (52)
 Φ(φ) = Ase(φ, c) + Bge(φ, c),
2
根据式 (43) 和式 (45)，C 和 C 为同一个一元二次
˜ 2
其中，ce(φ, c) 和 se(φ, c) 为第一型 Mathieu 函数，是
˜
方程的两个解，并且{G(x, z, C) = 0}为具有相同焦
周期部分；fe(φ, c)和ge(φ, c)为非周期部分。在波动
点的椭圆曲线族，由于满足式 (44) 括号中描述的梯
理论，要求解具有周期性，因此需要式 (51)、式 (52)
度表达式，易知
中B = 0。
z 2 x 2 假设 Helmholtz 方程在海底满足绝对硬，海面
˜
G(x, z, C) = + − 1. (46)
˜2
˜2
C − γ 2 C
0 满足绝对软条件，也即
如图 7 所示，蓝线为椭圆曲线族，红线为双曲曲线 
Φ (φ) = 0, φ = φ 0 , φ = π − φ 0 ,
 ′
族，两者的焦点重合，确实构成了一个正交曲线坐标 (53)
 Φ(φ) = 0, φ = 0, φ = π.
系：椭圆柱坐标系。