Page 235 - 应用声学2019年第4期
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第 38 卷 第 4 期            高善国等: 正交曲线坐标系在变化地形声场计算中的应用                                          695


             若假设                                                   下面结合分离变量法,讨论椭圆柱坐标系中的
                                                               Helmholtz 方程求解问题       [5] 。假设椭圆柱坐标系为
                  F(x, z, C)
                                                               (γ, φ),则其与直角坐标系(x, z)的坐标变换关系为
                     2       2
                   z       x
                       −         − 1,  C > 0, z > 0,                        
                           2
                =   C 2   γ − C 2                      (40)                   x = γ 0 sinh γ sin φ,
                           0
                  
                    z,                  C = 0, z = 0,                         z = γ 0 cosh γ cos φ,
                  
             则由当 C = 0 时,z = 0 表示海面;当 C = H 时,                   0 6 γ 6 ∞, 0 6 φ 6 φ 0 , π − φ 0 6 φ 6 π. (47)
             F(x, z, C) = 0 表示海底。因此具有相同焦点的双
                                                               当 φ = φ 0 及 φ = π − φ 0 时,对应海底地形。进而,
             曲线族 {F(x, z, C) = 0|C ∈ [0, H]} 可作为正交曲
                                                               根据式 (6),Helmholtz 方程在该椭圆柱坐标系中的
             线坐标系的一组坐标曲线。现在根据本文理论寻求
                                                               表达式为
             另一组坐标曲线。
                                                                                   (  2      2  )
                                                                          1          ∂ p    ∂ p
                 2
             在C > 0时,在计算区域的任一点(x, z),有                                                   +       + k p = 0.
                                                                                                    2
                                                                                2
                                                                        2
                                                                 γ (sinh γ + sin φ) ∂γ  2  ∂φ 2
                                                                   2
                                                                  0
                      ∂F        2x      ∂F    2z
                          = −  2     ,      =    .     (41)                                              (48)
                      ∂x      γ − C 2   ∂z    C 2
                               0
                                                               即
             则 根 据 上 面 的 讨 论, 不 妨 假 设 另 一 族 曲 线
                                                                          2
                                                                                2 2
                                                                   2
                                                                  ∂ p    ∂ p   γ k
             {G(x, z, C) = 0}满足                                       +      +  0   (cosh 2γ − cos 2φ) p = 0.
                                                                  ∂γ 2   ∂φ 2    2
                       ∂G    2z   ∂G       2x                                                            (49)
                          =     ,     =         .      (42)
                                          2
                       ∂x    C 2   ∂z    γ − C 2
                                          0
                                                               利用分离变量法,设p = Γ(γ)Φ(φ),则有
             由 于 在 (x, z) 点 还 有 F(x, z, C) = 0, 利 用 关 系
                                                                          2
             C 6 H < γ 0 ,可求得                                           d Γ  − (c − 2q cosh 2γ)Γ = 0,
                                                                       
                                                                       
                                                                         dγ 2
                                 √
                    2    2    2      2    2   2 2     2 2                                                (50)
                   x + z + γ −     (x + z + γ ) − 4γ z                     2
                                                      0
                                              0
                             0
               2
             C =                                         .              d Φ
                                                                       
                                     2                                      2  + (c − 2q cos 2φ)Φ = 0,
                                                                       
                                                       (43)               dφ
                                                               其中,q = γ k /4,c 为待定常数。式 (50) 中两个方
                                                                          2 2
             将式(43)代入式(42),整理得                                            0
                                                               程分别为修正 Mathieu 方程和 Mathieu 方程,根据
                   (                                ) 2
                             √                           4                  [5,10]
                      2
                          2
                                                 2 2
                                          2 2
                                 2
                                      2
                     x +z +    (x + z +γ ) −4γ z      −γ 0     相关求解理论           ,其解分为两类,偶型解和奇型
                                          0
                                                 0
             ∇G =                       2                      解。偶型解为
                                    8xzγ
                                        0
                      (            )                                   
                          2x    2z                                     
                    ×          ,     ,                 (44)              Γ(γ) = Ace(iγ, c) + Bfe(iγ, c),  (51)
                        ˜2
                                C
                        C − γ 2 ˜2
                              0
                                                                         Φ(φ) = Ace(φ, c) + Bfe(φ, c),
             其中,
                                                               奇型解为
                                 √
                         2
                    2
                                              2 2
                                                      2 2
                              2
                                          2
                                     2
                   x + z + γ +     (x + z + γ ) − 4γ z                 
                                              0
              ˜ 2
                             0
                                                      0
             C =                                         .
                                     2                                   Γ(γ) = Ase(iγ, c) + Bge(iγ, c),
                                                       (45)                                              (52)
                                                                         Φ(φ) = Ase(φ, c) + Bge(φ, c),
                                   2
             根据式 (43) 和式 (45),C 和 C 为同一个一元二次
                                       ˜ 2
                                                               其中,ce(φ, c) 和 se(φ, c) 为第一型 Mathieu 函数,是
                                       ˜
             方程的两个解,并且{G(x, z, C) = 0}为具有相同焦
                                                               周期部分;fe(φ, c)和ge(φ, c)为非周期部分。在波动
             点的椭圆曲线族,由于满足式 (44) 括号中描述的梯
                                                               理论,要求解具有周期性,因此需要式 (51)、式 (52)
             度表达式,易知
                                                               中B = 0。
                                    z 2    x 2                     假设 Helmholtz 方程在海底满足绝对硬,海面
                            ˜
                     G(x, z, C) =        +    − 1.     (46)
                                            ˜2
                                 ˜2
                                 C − γ 2   C
                                       0                       满足绝对软条件,也即
             如图 7 所示,蓝线为椭圆曲线族,红线为双曲曲线                               
                                                                      Φ (φ) = 0, φ = φ 0 , φ = π − φ 0 ,
                                                                     ′
             族,两者的焦点重合,确实构成了一个正交曲线坐标                                                                     (53)
                                                                     Φ(φ) = 0,  φ = 0, φ = π.
             系:椭圆柱坐标系。
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