Page 239 - 应用声学2019年第4期

第 38 卷 第 4 期 王梁等： 基于超椭圆拟合的水下小目标分类 699

数，该方法克服全部参数迭代产生的高计算量问题， 置不同的方形程度参数，将所有的参数带入超椭圆
缺点是对不完整的阴影轮廓进行拟合过程中，会产 函数内得到一个初始的超椭圆曲线。
生较大的误差，严重时可能出现偏离给定曲线的现 椭圆函数的一般式为
象。Rosin等 [10] 提出一种基于欧式距离构造目标函 f(a, (x, y)) = D · a
数的方法，该方法生成的曲线在形变程度上低于以
2
2
= a 1 x + a 2 xy + a 3 y + a 4 x + a 5 y + a 6 = 0, (6)
上几种方法且不存在曲率有偏性问题，在曲线拟合
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其中，D = (x , xy, y , x, y, 1)，a = (a 1 , a 2 , a 3 , a 4 ,
领域应用广泛，本文也采用基于欧式距离的方法构
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a 5 , a 6 )，且满足约束条件 a − 4a 2 a 4 = −1，使用边
造目标函数。 1
界的 N 个坐标点 X i = (x i , y i )，i = 1, 2, · · · , N 最
基于欧式距离构造目标函数的方法主要是寻
小化目标函数
找目标阴影边界坐标点与超椭圆曲线中心连线和
N
超椭圆曲线的交点到目标阴影边界坐标点的距离， Min∆(a, X) = ∑ (f(a, X i )) 2
此距离作为超椭圆模型的欧式距离，如图3 所示，欧 i=1
N
式距离计算表达式为 ∑
T
T
= (a) (D i ) D i a
√
2
2
d = (X p − X s ) + (Y p − Y s ) , (3) i=1
T
= (a) Sa, (7)

] 2/ε
/[ ( )
1 Y p 2/ε
T
X s = 1 + , (4) 其中，S = (D i ) D i 是 6 × 6 的矩阵。根据约束条

a 2/ε X p b

件得到
X p
Y s = X s , (5) T
Y p (a) Ca = −1, (8)
其中，(X p , Y p )、(X s , Y s )和(X c , Y c )分别表示目标阴 其中，C ∈ R 6×6 ， 除 C(1, 3) = C(3, 1) = −2、
影边界的坐标点、超椭圆曲线上的坐标点和超椭圆 C(2, 2) = 1外，其余为0，则优化问题可以写成
曲线的中心，公式 (3)∼(5) 中将超椭圆曲线中心设 T
Min(a) Sa
置为原点。
T
s.t. (a) Ca = −1. (9)
↼X p֒ Y p↽
利用拉格朗日乘子法计算式(10)
T
T
L(a) = (a) Sa − λ((a) Ca + 1) (10)
d i
对a求解导数得到
↼X s ֒ Y s ↽
Sa = λCa, (11)
↼X c ֒ Y c ↽ ↼֒ ↽
通过式 (11) 可得矩阵 a 内各个系数 a 1 , a 2 , a 3 , a 4 ,
a 5 , a 6 的值。将椭圆函数的一般式转换为标准式
后，加上预先估计的方形程度参数得到初始的超椭
图 3 欧式距离的定义
圆曲线。
Fig. 3 Definition of Euclidean distance
1.4 优化算法
1.3 初值估计 为了优化目标函数，本文采用 Nelder-Mead 单
在优化目标函数之前，超椭圆函数中所有参数 纯形法 [12] ，该算法将所有参数的初值带入到目标函
的初值估计是非常重要的。文献 [11] 中提出的利用 数内构成初始单纯形，对初始单纯形采用反射、扩
已知坐标集拟合一个初始的椭圆，将椭圆的长轴、短 展或压缩的手段代替最差顶点，当以上三种方法均
轴、旋转角度、水平平移量和垂直平移量的值作为 无法得到最差顶点时，利用收缩方式使单纯形逐渐
初始值，这里除了方形程度参数外的所有参数都提 收敛到一点，该点即为最优值。整个过程只需要计
供了合理的初步估计，对于方形程度参数，采用循环 算目标函数值而未进行任何求导运算，减少了计算
的方式多次计算取最优值，针对不同的阴影形状设 量。该算法的实现过程如下：