Page 232 - 应用声学2019年第4期
P. 232

692                                                                                  2019 年 7 月


             将方程 (25) 两边乘以 Φ 后,关于 ϕ 在 [0, ϕ 0 ] 上积分            并且对任何满足相应边界条件的函数都可以表示
             整理可得                                              成{Φ n }的线性组合。
                       ∫              ∫
                         ϕ 0            ϕ 0                        现在把声源考虑进来,Helmholtz方程变为
                                             2
                ′  ϕ 0        ′ 2         |Φ| dϕ = 0. (27)
               Φ Φ|  −      |Φ | dϕ + τ
                   0
                        0              0                                         1      1
                                                                                                 2
             要求解方程 (27),需要施加边界条件。假设边界                                       p ρρ + p ρ +  ρ 2 p ϕϕ + k p
                                                                                 ρ
             在 ϕ = 0 和 ϕ = ϕ 0 处,分别考虑以下三种情况:                                  δ(ρ − ρ s )
                                                                         = −           δ(ϕ − ϕ s ).      (34)
             (1)ϕ = 0 处绝对软,ϕ = ϕ 0 处绝对硬;(2)ϕ = 0                                  ρ
             和 ϕ = ϕ 0 处都绝对软;(3)ϕ = 0 和 ϕ = ϕ 0 处都                 声源在横向柱坐标系的 (ρ s , ϕ s ) 位置处,根据
             绝对硬。实际上,情况 (1) 和情况 (2) 的结果是经                      特征值问题 (25) 的解,方程 (34) 的解可以写为如下
             常讨论的    [4,8−9] ,情况 (3) 讨论较少。这样的 p 的边             形式:
             界条件对应到 Φ 上便为 (1)Φ(0) = 0,Φ (ϕ 0 ) = 0;
                                                 ′
                                                                                   ∑
             (2)Φ(0) = 0,Φ(ϕ 0 ) = 0;(3)Φ (0) = 0,Φ (ϕ 0 ) = 0。           p(ρ, ϕ) =   Λ n (ρ)Φ n (ϕ).    (35)
                                       ′
                                                 ′
                                                                                    n
                                      ′ ϕ 0  = 0,从而等式(27)
             不管哪一个条件,都会有 ΦΦ |
                                       0
             变为                                                将式 (35) 代入式 (34),并在方程两边乘以 Φ n 后,关
                      ∫            ∫                           于ϕ在[0, ϕ 0 ]上积分整理可得Λ n (ρ)满足
                        ϕ 0          ϕ 0
                             2           ′ 2
                     τ     |Φ| dϕ−     |Φ | dϕ = 0.    (28)                            (        )
                       0            0                                            1           γ 2
                                                                             ′′    ′      2    n  Λ
                                                                           Λ + Λ + k −
             这说明 τ > 0,不妨设 τ = γ 。这样特征值问题 (25)                               n   ρ  n         ρ 2
                                     2
                                      {  2  }
             具有离散谱,设特征值为 γ                 ,则对应的特征                            δ(ρ − ρ s )Φ n (ϕ s )
                                        n                                                                (36)
                                                                         = −                 .
             函数为                                                                     ρ
                 Φ n (ϕ) = A n sin(γ n ϕ) + B n cos(γ n ϕ),  (29)  这是一个典型的Bessel方程,其解为
             其中,A n 、B n 为待定常数,需根据边界条件确定。为                         Λ n (ρ) =  π  (kρ < )H (1) (kρ > )Φ n (ϕ s ),  (37)
                         ∫                                                  iJ γ n     γ n
                            ϕ 0                                            2
                                 2
             保证归一条件           |Φ n | dϕ = 1,情况(1)的解为
                           0                                   其中,ρ < = min(ρ, ρ s ),ρ > = max(ρ, ρ s )。这样方
                      √                    (      )
                         2                       1  π          程 (34)的解为
                A n =      , B n = 0, γ n =  n −      ,
                        ϕ 0                      2 ϕ 0
                                                                        πi  ∑                        (1)
                      n = 1, 2, · · ·                  (30)    p(ρ, ϕ) =  2   Φ n (ϕ)Φ n (ϕ s )J γ n (kρ < )H γ n  (kρ > ).
                                                                            n
             情况(2)的解为                                                                                    (38)
                          √
                             2                 nπ
                    A n =      , B n = 0, γ n =   ,            基于以上结果,给出四种典型海底情况的应用。以
                            ϕ 0                ϕ 0
                                                               下所有实例中,都是考虑等声速情况,参考声速为
                          n = 1, 2, · · ·              (31)
                                                               1500 m/s,并且只考虑提到的边界,其他边界不予
             情况(3)的解为                                          考虑,也就是说,实例中的空间是无限延伸的。
                                √
                                  2 min(1,n)      nπ
                  A n = 0, B n =          , γ n =    ,         3.1  斜坡情况
                                     ϕ 0          ϕ 0
                       n = 0, 1, 2, · · ·              (32)        第一个应用实例为经典的斜坡情况,如图 3
                                                               所示,斜坡角度为 π/4,声源位于斜坡上方坐标
             注意到情况 (3) 中 n 可以取 0,这是非常重要的。这
                                                               (1000, 500) 处,声源频率为 25 Hz,根据坐标系选取
             样得到 γ n 后,可以将之代入式 (26) 求解。三种情况
                                                               方法,要取原点位于坐标 (2000, 0) 的柱坐标系进行
             中 {Φ n } 都可以构成满足相应边界条件的函数空间
                                                               声场计算。图3(a) 为海底满足绝对硬条件下的传播
             的完备正交基,也就是说
                                                               损失情况;图 3(b) 为海底满足绝对软条件下的传播
                          ∫
                            ϕ 0
                              Φ n Φ m dϕ = δ mn ,      (33)    损失情况。
                           0
   227   228   229   230   231   232   233   234   235   236   237