Page 232 - 应用声学2019年第4期

692 2019 年 7 月

将方程 (25) 两边乘以 Φ 后，关于 ϕ 在 [0, ϕ 0 ] 上积分 并且对任何满足相应边界条件的函数都可以表示
整理可得 成{Φ n }的线性组合。
∫ ∫
ϕ 0 ϕ 0 现在把声源考虑进来，Helmholtz方程变为
2
′ ϕ 0 ′ 2 |Φ| dϕ = 0. (27)
Φ Φ| − |Φ | dϕ + τ
0
0 0 1 1
2
要求解方程 (27)，需要施加边界条件。假设边界 p ρρ + p ρ + ρ 2 p ϕϕ + k p
ρ
在 ϕ = 0 和 ϕ = ϕ 0 处，分别考虑以下三种情况： δ(ρ − ρ s )
= − δ(ϕ − ϕ s ). (34)
(1)ϕ = 0 处绝对软，ϕ = ϕ 0 处绝对硬；(2)ϕ = 0 ρ
和 ϕ = ϕ 0 处都绝对软；(3)ϕ = 0 和 ϕ = ϕ 0 处都 声源在横向柱坐标系的 (ρ s , ϕ s ) 位置处，根据
绝对硬。实际上，情况 (1) 和情况 (2) 的结果是经 特征值问题 (25) 的解，方程 (34) 的解可以写为如下
常讨论的 [4,8−9] ，情况 (3) 讨论较少。这样的 p 的边 形式：
界条件对应到 Φ 上便为 (1)Φ(0) = 0，Φ (ϕ 0 ) = 0；
′
∑
(2)Φ(0) = 0，Φ(ϕ 0 ) = 0；(3)Φ (0) = 0，Φ (ϕ 0 ) = 0。 p(ρ, ϕ) = Λ n (ρ)Φ n (ϕ). (35)
′
′
n
′ ϕ 0 = 0，从而等式(27)
不管哪一个条件，都会有 ΦΦ |
0
变为 将式 (35) 代入式 (34)，并在方程两边乘以 Φ n 后，关
∫ ∫ 于ϕ在[0, ϕ 0 ]上积分整理可得Λ n (ρ)满足
ϕ 0 ϕ 0
2 ′ 2
τ |Φ| dϕ− |Φ | dϕ = 0. (28) ( )
0 0 1 γ 2
′′ ′ 2 n Λ
Λ + Λ + k −
这说明 τ > 0，不妨设 τ = γ 。这样特征值问题 (25) n ρ n ρ 2
2
{ 2 }
具有离散谱，设特征值为 γ ，则对应的特征 δ(ρ − ρ s )Φ n (ϕ s )
n (36)
= − .
函数为 ρ
Φ n (ϕ) = A n sin(γ n ϕ) + B n cos(γ n ϕ), (29) 这是一个典型的Bessel方程，其解为
其中，A n 、B n 为待定常数，需根据边界条件确定。为 Λ n (ρ) = π (kρ < )H (1) (kρ > )Φ n (ϕ s ), (37)
∫ iJ γ n γ n
ϕ 0 2
2
保证归一条件 |Φ n | dϕ = 1，情况(1)的解为
0 其中，ρ < = min(ρ, ρ s )，ρ > = max(ρ, ρ s )。这样方
√ ( )
2 1 π 程 (34)的解为
A n = , B n = 0, γ n = n − ,
ϕ 0 2 ϕ 0
πi ∑ (1)
n = 1, 2, · · · (30) p(ρ, ϕ) = 2 Φ n (ϕ)Φ n (ϕ s )J γ n (kρ < )H γ n (kρ > ).
n
情况(2)的解为 (38)
√
2 nπ
A n = , B n = 0, γ n = , 基于以上结果，给出四种典型海底情况的应用。以
ϕ 0 ϕ 0
下所有实例中，都是考虑等声速情况，参考声速为
n = 1, 2, · · · (31)
1500 m/s，并且只考虑提到的边界，其他边界不予
情况(3)的解为 考虑，也就是说，实例中的空间是无限延伸的。
√
2 min(1,n) nπ
A n = 0, B n = , γ n = , 3.1 斜坡情况
ϕ 0 ϕ 0
n = 0, 1, 2, · · · (32) 第一个应用实例为经典的斜坡情况，如图 3
所示，斜坡角度为 π/4，声源位于斜坡上方坐标
注意到情况 (3) 中 n 可以取 0，这是非常重要的。这
(1000, 500) 处，声源频率为 25 Hz，根据坐标系选取
样得到 γ n 后，可以将之代入式 (26) 求解。三种情况
方法，要取原点位于坐标 (2000, 0) 的柱坐标系进行
中 {Φ n } 都可以构成满足相应边界条件的函数空间
声场计算。图3(a) 为海底满足绝对硬条件下的传播
的完备正交基，也就是说
损失情况；图 3(b) 为海底满足绝对软条件下的传播
∫
ϕ 0
Φ n Φ m dϕ = δ mn , (33) 损失情况。
0