Page 43 - 应用声学2019年第4期

第 38 卷 第 4 期 张永霖等： 基于混合范数约束的非均匀稀疏水声信道估计方法 503

 
u(n) u (n − 1) · · · u (n − M + 1)
 
 
 u (n − 1) u (n − 2) · · · u (n − M) 
U(n) =  . . .  , (1)
 . . . . 
 . . 
 
u (n − Q + 1) u (n − Q) · · · u (n − M − Q + 2)
其中，M 表示滤波器的长度，Q 为 APA 算法中 1.3 范数约束IPAPA算法
的 多 重 约 束 数， 即 滤 波 器 的 阶 数。 滤 波 器 抽 针对水声信道的稀疏特性，将一般稀疏范数约
H
头系数为 ω(n) = [ω 0 (n), ω 1 (n) , · · · , ω M−1 (n)] ， 束引入IPAPA算法的代价函数中，常见的范数约束
定 义 Q × 1 阶 实 际 接 收 信 号 d(n) = 为 l 0 范数、l 1 范数以及 l p 范数 (0 < p < 1) 等，为了
H
[d (n) , d (n − 1) , · · · , d (n − Q + 1)] ，自适应滤波 进一步反映信道的簇状结构，可以将簇稀疏范数约
ˆ
器的输出向量 d (n) = U(n)ω (n) 与实际接收信号 束引入代价函数中，常见的簇范数约束为 l 21 范数、
d (n)之间的误差表示为e(n) = d (n) − U(n)ω(n)。 l 20 范数等。此处将以上各种范数约束统一归纳为l k
APA 算法可以利用数学形式表示为如下的约 范数约束，并给出基于范数正则化IPAPA代价函数
束问题： 的一般形式：
2 2
min ∥ω (n + 1) − ω (n)∥ J(n) = ∥d(n) − U (n) ω (n+1)∥
2
s.t. d(n) = U (n) ω (n+1) . (2) + λθ H G(n)θ ω(n+1)
ω(n+1)
利用拉格朗日乘子法求解得到 APA 算法的滤波器 + γ ∥ω (n + 1)∥ , (7)
k
抽头更新公式： 其中，θ ω(n+1) = ω (n + 1) − ω (n)，对式 (7) 求导并
使其等于零可得
ω (n + 1) =
H
(
H
)
(
H
H
ω(n)+µU (n) U (n) U (n)+δI ) −1 e(n), (3) U(n) e(n) = λG(n) + U(n) U(n) θ ω(n+1)
γ
+ C(n), (8)
其 中， µ 为 步 长 参 数， δ 为 正 则 参 数， 2
H
H
U (n)(U(n)U (n) + δI) −1 是 U (n) 的伪逆，简记 其中，C (n)为正则约束项的一阶导数。利用矩阵求
为U (n)，因此式(3)可以简写为 逆引理并对零吸引项进行修正可得
+
+
ω (n + 1) = ω(n) + µU (n)e(n). (4) ω (n + 1) = ω (n) + µU ipinv e(n)
ρ ipinv ( H ) H
1.2 IPAPA算法 + U G (n) U (n) C (n)
2
ρ
IPAPA 在传统 APA 的基础上，针对稀疏滤波 − C(n), (9)
2
器抽头的非均匀性采取不同的更新步长，引入了对
其中，
角矩阵 G (n) 自适应地调整各个抽头的步长，其滤 H ( ) −1
H
波器抽头系数递归表达式为 U ipinv = G(n)U (n) U(n)G (n) U (n) + δI .
(10)
H
H
(
ω (n + 1) = ω(n)+µG(n)U (n) U(n)G(n)U (n)
式(9)中的µ为全局步长参数，ρ = µγ/λ。至此得到
) −1
+ δI e(n), (5) 了k 范数约束IPAPA抽头迭代的一般形式。
其中，G(n)的第m个对角线元素表示为
2 非均匀混合范数约束自适应水声信道估
m
1 − α |ω (n)|
m
g (n) = + (1 + α) , (6) 计方法
2M 2 ∥ω(n)∥ + δ
1
其中，−1 < α < 1，M 是滤波器长度，由式 (6) 可知 水声信道具有明显的簇稀疏特性，现有算法
G (n) 矩阵非均匀地作用在各个抽头更新项上，有 相较传统自适应算法已有较大提升，但是仍然没
效提高了收敛的速度。 有充分利用水声信道冲激响应非均匀簇状稀疏分