Page 145 - 应用声学2019年第5期

第 38 卷 第 5 期 李悟等： 利用声音反射信号重建室内空间结构的研究 897

T
T
T
1.3 解决方案 = x x i − 2x x j + x x j , (7)
i i j
针对 1.2.1 节提出的反射信号到达次序不一致 所有欧式距离平方可以构成欧式距离阵 D = [d ij ]，
的问题，最早研究利用声信号进行房间重构的Dok- 定义为
manić 等在经典文献 [8] 中提出了利用欧式距离阵 def
T
T
T
EDM(X) = 1 diag(X X) − 2X X
特性为反射信号归类的方法。
T
T
欧式距离阵指的是假设欧几里得空间 X 中存 + diag(X X)1 , (8)
在N 个点， 其中，diag 代表对角阵，1 代表所有元素都为 1 的向
量，EDM包含完整的节点信息，而且形式易于处理，
X = [x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , · · · , x N ], (5)
利用EDM可以重建这N个点的位置。
X 中任意两点之间的欧式距离的平方可以表示为
首先，将传声器之间的欧式距离作为矩阵的一
2
d ij = ‖x i − x j ‖ . (6) 部分元素建立欧氏距离阵，另一部分元素来源于根
据冲激响应测得的反射信号到达时间转换成的传
展开式(6)得到
播距离，这部分距离作为扩展与原矩阵组成增广矩
T
d ij = (x i − x j ) (x i − x j ) 阵，如图4所示。
s i

 ⊲ ⊲ ⊲ ⊲ ⊲
⊲  ⊲ ⊲ ⊲ ⊲
⊲ ⊲  ⊲ ⊲ ⊲
s R 2 D aug /
⊲ ⊲ ⊲  ⊲ ⊲
⊲ ⊲ ⊲ ⊲  ⊲
⊲ ⊲ ⊲ ⊲ ⊲ 
R 1
R 5

图 4 基于欧式距离阵的反射信号归类法
Fig. 4 Process of echo sorting by EDM
多 维 尺 度 分 析 法 (Multidimensional scaling, 为了优化重构结果，这里引入了 s-stress 的概
MDS) 是一种对 EDM 经过变换来反推出符合约 念。s-stress 用来计算重构出的点组成的 EDM 与原

束条件的声源位置以及传声器位置的方法。假设X EDM 之间的差距，可以衡量重构的准确性，计算公
为待求的声源位置与传声器位置的坐标，x 1 坐标为 式如下：
原点，MDS可以表示为 ∑
˜
2
s= (EDM(X) ij −d ij ) , X ∈ R d×n , (14)
2
2
2
d i1 = ∥x i − x 1 ∥ = ∥x i − 0∥ = ∥x i ∥ , (9)
˜
其中，d ij 代表由 MDS 重构得到的 X 中每两个点之
于是，
间的欧式距离。
T
T
1 diag(X X) = 1d , (10)
1 具体算法过程如下：
T
其中，d 1 = De 1 ，解算X X 可得 (1) 分别计算各传声器得到的房间冲激响应。
1 T T (2) 从各冲激响应里随机选取到达时间，通过
T
X X = − (D − 1d − d 1 1 ). (11)
1
2 公式(4)转换为传播距离。
T
由于X X 为方阵，利用特征值分解可以得到
(3) 计算各传播距离的平方与原 EDM 组成的
T
T
X X = UΛU , (12)
增广矩阵。
T
其中，Λ = diag(λ 1 , · · · , λ n )，Λ 为以 X X 特征值 (4) 利用 MDS 算法重构出组成矩阵的各点的
为元素的对角阵，U 是正交化特征向量。求解X，可 坐标。
以得到 (5) 计算出重建点的EDM与原EDM之间的差
def √ √ T
X = [diag( λ 1 , · · · , λ n ), 0 d×(n−d) ]U . (13) 距s。