Page 6 - 应用声学2019年第5期

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表面的黑色五角星和倒三角形分别表示声源和接
0 引言
收器，在深度z=900 m 处的红色五角星表示介质中
波动方程逆散射问题的研究是声波在固体介 的虚拟点源，也是下文所述的聚焦函数的聚焦点。
质中传播和成像理论的重要研究内容。一维波动 其中图1(a)为状态B，代表实际介质；图1(b)为状态
方程逆散射问题的经典解之一就是 Marchenko 方 A，表示参考介质。两种介质的不同之处在于参考
程 [1] ，它将介质边界上单边记录的波场响应和来 介质中用红色五角星表示的声源下方是均匀介质，
自于介质内部声源的散射响应通过积分耦合，可以 声波入射之后无反射，相当于实际介质的截断版本。
用来反演介质内部的构造。最近，Broggini 等 [2] 展 在两种状态下，对于两个在时间轴上正向传播的波
示了在不需要知道介质信息的情况下，利用单边 场，可以通过卷积型互易原理联系 [8] ：
记录的反射响应重构介质中虚拟点源的格林函数。 ∫ ( )
− +
2
+ −
p p − p p d x
Wapenaar 等 [3] 通过引入波场的因果性条件，将上 ∂z 0 A B A B
∫
述方法推广到多维介质中。van der Neut等 [4] 提出 ( + − − + ) 2
= p p − p p d x i , (1)
A B
A B
多维互相关理论，解释了如何通过波场迭代求解 ∂z i
多维 Marchenko方程。Cui 等 [5] 将方程求解过程中 对于时间轴上正向传播的波场和反向传播的波场，
定义的聚焦函数解释为边界源在负时刻的入射波 通过相关型互易原理联系 [8] ：
场，分析了基于初始聚焦函数求取单程格林函数 ∫ ( + ( + H ( − H )
)
)
2
p p − p − p d x
过程中幅度对结果的影响。除应用在弹性介质中， ∂z 0 A B A B
∫
Marchenko自聚焦方法还可用于复杂的黏弹性介质 ( + ( + H ( + H ) 2
)
)
= p A p B − p − p B d x i , (2)
A
成像中 [6−7] 。 ∂z i
本文主要研究在一维介质中，介质表面到介质 式 (1) ∼ (2) 中，p A 和 p B 分别是两种介质中记录的
内任一点之间的格林场是如何通过耦合Marchenko 波场，“+” 表示声波朝深度增加的方向传播，“−”
方程组求解得到的，首先解释了如何利用单程波场 表示声波朝深度减小的方向传播，本文分别用它
H
的互易原理推导耦合 Marchenko 方程组；接着基于 们表示下行和上行的单程波场，() 为复共轭。等
波场的因果性，设计时间窗算子迭代求解聚焦函数， 式 (1) 和等式 (2) 的左边积分区域是沿着介质表面
并利用聚焦函数求解期望的格林函数；然后在求解 ∂z 0 (z = 0 m) 积分，右边是沿着定义的聚焦平面
过程中引入卷积理论，分别在数值解和解析解模型 ∂z i (z = 900 m) 积分。
中计算期望的格林函数；最后基于解析解分析数值 在状态 A 中的介质表面上方，如果布置一个向
解中各个波形序列构造的具体过程。 深度方向发射声波的脉冲点声源，则介质表面记录
+
的下行波场为 p = δ (x − x 0 )，其中 x 0 是声源的水
1 Marchenko方程 A
平坐标位置，在本文所示的一维介质中 x 0 = 0，因
本文将声学介质限制在一维状态，模型如图 1 此 p + = δ (x)。同时介质表面也会记录来自于介
A
所示，蓝实线表示声速，红虚线表示密度，位于介质 质内部的反射响应，即上行波场p = R A (z 0 , z 0 , t)。
−
A
3000 4000 4000 4000

ܦᤴ/(mSs -1 ) 2500 z=0 m z=900 m 3000 ࠛए/(kgSm -3 ) ܦᤴ/(mSs -1 ) 2500 z=0 m z=900 m 3000 ࠛए/(kgSm -3 )

2000
2000
2000
2000
1500 1000 1500 1000
0 500 1000 1500 0 500 1000 1500
ງए/m ງए/m
(a) ࿄গB: ࠄᬅ̮᠏ (b) ࿄গA: ԠᏦ̮᠏
图 1 1D 数值解模型
Fig. 1 1D numerical model