Page 7 - 应用声学2019年第5期

第 38 卷 第 5 期 胥利文等： 一维 Marchenko 自聚焦算法的数值解与解析解 759

在定义的聚焦点z = 900 m处记录的下行波场是参 z 0 、 在 z s 处 接 收 的 格 林 函 数。 为 了 书 写 方 便，
+ + +
−
考介质的透射响应 p A = T A (z s , z 0 , t)，同时因为在 下文将 G (z s , z 0 , t)、G (z s , z 0 , t)、f (z 0 , z s , t)、
1
+
聚焦点下方是均匀介质，无反射波，因此聚焦点处记 f (z 0 , z s , t) 和 R (z 0 , z 0 , t) 分 别 简 写 为 G 、 G 、
−
−
1
+
录的上行波场为0，即p = 0。 f 、f 和 R。Marchenko 耦合方程组 (3) 和方程
−
−
A 1 1
+
同理，在状态 B 中的介质表面上方，也布置一 组 (4) 是欠定的，两个方程，四个未知数：G 、G 、
−
+
个向深度方向发射声波的点声源，则介质表面记 f 、f ，接下来将首先展示如何利用实际介质中的
−
1
1
录的下行波场为 p + = δ (x)，上行波场是实际介 反射响应求取两个定义在参考介质中的聚焦函数。
B
质的反射响应，即 p − = R (z 0 , z 0 , t)。在聚焦点处，
B
可以将记录的全波场 G (z s , z 0 , t)，分解为上行波场 2 聚焦函数重构
+
p − = G (z s , z 0 , t) 和下行波场 p + = G (z s , z 0 , t)， 位于 z s = 900 m 处的脉冲点源激发的波场直
−
B
B
−
即 G = G + + G 。 上述两种状态中的表达式
达波将会在 t = t d (直达波传输时) 到达介质表面
R (z 0 , z 0 , t)、T (z s , z 0 , t) 和 G (z s , z 0 , t)，括号中的第
z 0 = 0 m 处的接收器，即格林函数中的所有序列将
一项表示接收器，第二项表示声源，都表示声源发
会在t > t d 出现在接收记录中。在t < t d 时，位于z 0
射、接收器接收的波场响应。
处的接收器不能接收到波场信息。依据波场的因果
状态 A 中参考介质的透射响应 T A (z s , z 0 , t) 和
性，引进完全去除直达波和尾波的时间窗算子θ {·}，
反射响应 R A (z 0 , z 0 , t) 是未知的，在状态 A 中定义
算子分别作用于等式 (3) 和等式 (4) 两端，所以等式
一种新的函数：聚焦函数 f 1 (z 0 , z s , t)，它的下行
左边θ {G (t)} = 0和θ {G (t)} = 0。
+
−
+
分量 f (z 0 , z s , t) 被定义为透射响应的时反，表示 依据上文和 van der Neut 等 [4] 关于聚焦函数
1
从介质表面 z 0 发射声波，聚焦于点 z s 处，所以可 +
的分析，下行聚焦函数 f (t) 是参考介质透射响应
1
以将公式中的透射响应 T A (z s , z 0 , t) 的时反用下行 +
的时反波场，它由−t d 时刻的首波 f 1d 和在−t d 与t d
聚焦函数代替。同理定义聚焦函数的上行分量 +
之间的尾波序列 f 1m 构成，将时间窗算子应用于下
f (z 0 , z s , t)，表示聚焦点在 z s 处的向外扩散的波 行聚焦函数f (t)可以得到
−
+
1
场，它是聚焦函数的下行分量通过参考介质表面 { } 1 { }
+
θ f (t) = θ f + (t) + f + (t) = f + (t) . (5)
反射序列得到的响应，所以将推导过程中的中间 1 1d 1m 1m
变量R A (z 0 , z 0 , t) f (z 0 , z s , t)用f (z 0 , z s , t)代替。 而上行聚焦函数是在 −t d 与 t d 之间的波场， 加
+
−
1 1
聚焦函数表达式中的第二项 z s 表示此函数的聚焦 窗后为
点，这两种聚焦函数的定义会方便后续的求解过程。 { − } − (6)
θ f (t) = f (t) .
1 1
将上述不同状态、不同位置处记录的波场分
因此，对于耦合 Marchenko方程组 (3)和方程组(4)，
量代入等式 (1) 和等式 (2)，可以将 “状态 B” 中深
将时间窗算子作用于等式两边最终可以得到
度为 0 m 处记录的反射响应 R(z 0 , z 0 , t) 和深度为
{ + }
900 m 处的接收器接收的介质表面声源发射的单程 θ R (t) ∗ f (t)
1
{ [ + + ]}
−
格林函数 G (z s , z 0 , t)，通过定义在 “状态 A” 中的 = θ R (t) ∗ f 1d (t) + f 1m (t) = f (t) , (7)
±
1
聚焦函数 f (z 0 , z s , t) 联系起来。因为本文将方程 { − } + (8)
±
1 θ R (t) ∗ f (−t) = f 1m (−t) .
1
求解过程限制在一维介质，所以得到一维时域耦合
+
为了求解聚焦函数 f (t) 和 f (t)，将介质中
−
1
1
Marchenko方程 [3−5] ：
虚拟点源到介质表面的直达波的时反波场作为初
+
+
−
G (z s , z 0 , t) = R (z 0 , z 0 , t) ∗ f (z 0 , z s , t) 始的下行聚焦函数 f (t)，同时假定 f + (t) 的初始
1 1d 1m
值为 0。将接收的反射响应 R(t) 和初始聚焦函数
−
− f (z 0 , z s , t) , (3)
1
f (t) 的估计代入等式 (7)，可以得到 f (t) 的首次
+
−
+
G (z s , z 0 , t) = − R (z 0 , z 0 , t) ∗ f (z 0 , z s , −t) 1d 1
−
1 +
更新，然后将 f (t) 代入等式 (8)，得到 f 1m (t) 的第
−
1
+
+ f (z 0 , z s , −t) , (4) 一次更新值。接着，将第一次迭代求得的 f 1m (t) 与
+
1
+
+
其中，“∗” 表示卷积，f (z 0 , z s , t) 表示聚焦于深 f (t) 求和，可以得到 f (t) 的全波场，再代入等
±
1
1d
1
度为 z s 处的聚焦函数，G (z s , z 0 , t) 为声源位于 式 (7) 就可以得到 f (t) 的第二次估计，然后再代入
−
±
1