Page 10 - 应用声学2019年第5期

762 2019 年 9 月

而第二个序列是负数相乘的结果，与对等式 (11) 两 应的序列随着首波到达时间而移动，以构建序列。
个序列的幅度分析结果一致。接着将这两个序列 由于首波是时反非因果的，因此它会将反射系列中
时反，得到 f (−t)，将它和反射响应卷积可以得到 的所有序列向负时间轴移动。其中的一些序列变
−
1
图 5(b)的结果。两个序列和反射响应序列的卷积可
得太多，以致变为非因果序列。接下来又计算了第
以分为单个序列卷积的和，也相当于将反射响应序
二、第三次迭代，得到具有相同相位而幅度不同的
列在时间轴上移动相位后再求和。窗算子作用后只 +
−
+
+
1
留一个序列，即f 1m (−t)，时反后就可得到f 1m (t)，幅 f (t)和f 1m (t)。
值为负数相乘的结果。数值求解的结果与等式 (11) 第 二 次 迭 代， 首 先 将 第 一 次 迭 代 求 得 的
+
+
和等式 (12) 的结果相同。本质上来说，来自反射响 f 1m (−t)时反后与f (t) 求和可得
1d
( 1 ) ( 1 )
+
f (t) + f + (t) = f + δ t + t 1 + t 2 + t 3 + R A1 R A2 f + δ t + t 1 − t 2 + t 3 . (13)
1d 1m 1dA 2 1dA 2
由等式(7)可得
( 1 ) ( ) ( 1 )
−
f (t) = R A1 f + δ t − t 1 + t 2 + t 3 + R A2 f + + R 2 R A2 f + δ t − t 1 − t 2 + t 3 . (14)
1 1dA 1d A1 1dA
2 2
接着将等式(14)得到的f (t)代入等式(8)可得
−
1
( )
+ ( + 2 + ) 1
f (−t) = R A1 R A2 f + R R A2 f δ t − t 1 + t 2 − t 3 . (15)
1m 1d A1 1dA
2
第三次迭代，首先将等式(15)得到的f + (−t)与f + (t)求和：
1m 1d
( ) ( )
+ + + 1 ( + 2 + ) 1
f (t) + f (t) = f δ t + t 1 + t 2 + t 3 + R A1 R A2 f + R R A2 f δ t + t 1 − t 2 + t 3 . (16)
1d 1m 1dA 1d A1 1dA
2 2
由等式(7)可得
( 1 ) ( ( )) ( 1 )
−
f (t) = R A1 f + δ t − t 1 + t 2 + t 3 + R A2 f + + R 2 R A2 f + + R 2 R A2 f + δ t − t 1 − t 2 + t 3 .
1 1dA 2 1dA A1 1d A1 1dA 2
(17)
接着将等式(17)得到的f (t)代入等式(8)可得
−
1
( 1 )
(
))
(
+
+
+
+
f 1m (−t) = R A1 R A2 f 1dA + R 2 A1 R A2 f 1d + R 2 A1 R A2 f 1dA δ t − t 1 + t 2 − t 3 . (18)
2
−
将经历多次迭代后的f (t)与f + (−t)作为最 f (t) 只有两个序列，第一个序列幅度和相位完全
−
1 1m 1
终的聚焦函数，求取期望的格林函数。对比三次 重合，第二个序列的幅度有轻微的差别，将图中第二
迭代结果，等式 (11)、等式 (14) 和等式 (17) 得到的 个序列放大得到 6(a) 图中左边插图展示，可以发现
f (t)，发现每次迭代得到的下行聚焦函数的序列 幅度差别很小，第六次迭代结果已经收敛于第五次
−
1
都只有两列，且相位完全相同，而且第一个序列的 迭代。在图 6(b) 中，只有一个序列，幅度差异很小，
幅度也是完全相同的，等式 (14) 中第二个序列的 不同的迭代结果在到时和波形上匹配很好，数值解
幅度是等式 (11) 得到的序列幅度基础上再加一个 的图形很好匹配了解析解的分析结果。
R 2 R A2 f + ，第三次迭代的结果是第一次结果的
A1 1dA
基础上对上一次迭代的幅度进行微调，而不影响相 3 单程格林函数重构
位。同理，对于等式(12)、等式(15)和等式(18) 得到
的f + (−t)，只有一个序列，幅度在每次迭代后进行 将在时间轴上与窗算子 θ 相逆的算子记为 Θ，
1m
微调。 Θ 去除了直达波到达前的所有序列，而不包括直达
数值模拟实验中，总计迭代计算了六次，抽取 波本身。可用来求解位于算子 θ 外围的格林函数。
其中第一、第五和第六次结果，在图 6 中对比，不同 将 Θ 置于 Marchenko 方程组 (3) 和方程组 (4) 两端，
的颜色分别代表不同的迭代结果。对于图6(a)中的 可以得到