Page 9 - 应用声学2019年第5期

第 38 卷 第 5 期 胥利文等： 一维 Marchenko 自聚焦算法的数值解与解析解 761

图 1(a) 中的数值解模型中表面记录的反射响 由等式 (11) 得到的 f (t) 有两个序列，幅度分
−
1
应可以展开为图4解析解模型中各个序列的和， 别为 R A1 f + 和 R A2 f + ，因为声波透射系数恒为
1dA 1dA
正，依据图 1(a) 模型中各层的声阻抗的值，可得
R (z 0 , z 0 , t)
+ + −
R A1 f > 0 和R A2 f < 0，可知 f (t)中两个序
= r 12 δ (t − 2t 1 ) + τ 12 τ 21 r 23 δ (t − 2t 1 − 2t 2 ) 1dA 1dA 1
列的幅值一正一负。接着，将 f (t) 时反后代入等
−
2
+ τ 12 τ 21 r 21 r δ (t − 2t 1 − 4t 2 ) 1
23
式 (8)，相当于反射响应分别与 f (−t) 中的两个序
−
1
+ τ 12 τ 21 τ 23 τ 32 τ 21 r 34 δ (t − 2t 1 − 2t 2 − 2t 3 )
列分别卷积(相移)再求和，加窗后可得
3
2
+ τ 12 τ 21 r r δ (t − 2t 1 − 6t 2 ) ( 1 )
23 21
+
+
f 1m (−t) = R A1 R A2 f 1dA δ t−t 1 +t 2 − t 3 . (12)
+ τ 12 τ 23 τ 32 τ 21 r 34 r 21 r 23 δ (t − 2t 1 − 4t 2 − 2t 3 ) 2
+
2
+ τ 12 τ 23 τ 21 τ 32 r r 32 δ (t − 2t 1 − 2t 2 − 4t 3 ) 本模型中，通过计算可以发现 f 1m (−t) 的相位
34
是由反射响应中第一个序列与 f (t)中的第二个序
−
+ · · · (9) 1
列构造的，即将反射响应中的第一个序列的相位移
为了更清晰地展示反射响应中各个序列幅度
1
对合成波场的影响，将等式 (9) 中用反射系数和透 动t = −t 1 − t 2 + t 3 ，依据反射系数和透射系数的
2
射系数表示的各个序列幅度用 R Ai (i = 1, 2, 3 · · ·) 值可以判断f + (−t)的幅值R A1 R A2 f + < 0。
1m 1dA
表示，即 图 5 是基于数值解模型求解的第一次迭代后
R (z 0 , z 0 , t) 的结果，图中绘制了两条红虚线表示时间窗算子
θ，两条线在时间轴上镜像对称，窗算子 θ 去除正
= R A1 δ (t − 2t 1 ) + R A2 δ (t − 2t 1 − 2t 2 )
负窗口外的所有数据，而仅仅保存窗口之间的数
+ R A3 δ (t − 2t 1 − 4t 2 )
据。利用时间窗算子截取窗内部的序列只得到两
+ R A4 δ (t − 2t 1 − 2t 2 − 2t 3 )
个序列 (图 5(a))，这就是首次迭代更新的上行聚
+ R A5 δ (t − 2t 1 − 6t 2 )
焦函数 f (t)。与图 3(b) 中的初始聚焦函数相比
−
1
+ R A6 δ (t − 2t 1 − 4t 2 − 2t 3 ) 较，发现第一个序列的幅值是正数相乘的结果，
+ R A7 δ (t − 2t 1 − 2t 2 − 4t 3 ) + · · · (10)
聚焦点位于深度z 2 和z 3 的中心处，聚焦点到表 0.8
面接收点的直达波可以表示为 0.4
( )
1 ॆʷӑࣨए
D (z 0 , z s , t) = τ 21 τ 32 δ t − t 3 − t 2 − t 1 , 0
2
依据上文的解释，将直达波的时反序列作为初始聚 -0.4
+
焦函数f ，即： -0.8
1d
( 1 ) -0.8 -0.4 0 0.4 0.8
f + (z 0 , z s , t) = τ 21 τ 32 δ t + t 1 + t 2 + t 3 ௑ᫎ/s
1d 2
⇁
( 1 ) (a) R↼t↽⇀f ↼t↽

= f + δ t + t 1 + t 2 + t 3 ,
1dA 2 0.8
幅度τ 21 τ 32 用f + 表示。
1dA 0.4
第一次迭代，将反射响应和初始聚焦函数代入
等式 (7) 可以求得 f (t)，这个步骤相当于将反射 ॆʷӑࣨए 0
−
1
响应沿着时间轴逆向移动直达波的到时，即移动 -0.4
1
t = t 1 + t 2 + t 3 相位，加时间窗算子θ {·}后可得到 -0.8
2
这两个序列构造的f (t)： -0.8 -0.4 0 0.4 0.8
−
1
௑ᫎ/s
( )
1 (b) R↼t↽⇀f ↼֓t↽
֓
+
f (t) = R A1 f 
−
1 1dA δ t − t 1 + t 2 + t 3
2
( ) 图 5 第一次迭代后的结果
1
+
+ R A2 f δ t − t 1 − t 2 + t 3 . (11)
1dA 2 Fig. 5 The result after the first iteration