Page 12 - 应用声学2019年第5期

764 2019 年 9 月

{ + }
依 据 等 式 (22)、 等 式 (23) 和 等 式 (24) 的 的第一个和第三个序列，将会与 Θ R (t) ∗ f 1m (t)
{ + } 中的第一个和第二个序列在幅度上相互抵消，迭代
Θ R (t) ∗ f (t) 三次迭代结果，对于前三个序
1m
次数的增加不会改变序列的相位，而主要是为了让
列，可以发现每次迭代后的结果相位完全一样，而幅
序列的幅度逼近到可以抵消的程度。
度微小变化。对于 R (t) ∗ f + (t) 的运算，这个步骤
1m 接着可以将等式 (10) 和等式 (13) 两次求得的
+
相当于将反射响应沿着时间轴移动 f 1m (t) 的相位 f (t)，结合已知的R (t)代入等式 (20)，首先可以分
−
1
1 { + } { }
t = −t 1 + t 2 − t 3 ，将它与Θ R (t) ∗ f 1d (t) 求和， 别得到三次迭代的 Θ R (t) ∗ f (−t) ，具体结果
−
2 { } 1
可以得到下行格林函数。对于Θ R (t) ∗ f + (t) 中 如下。
1d
第一次迭代：
( )
{ } ( 2 + 2 + ) 1
−
Θ R (t) ∗ f (−t) = R f + R f
1 A1 1dA A2 1dA δ t − t 1 − t 2 − t 3
2
( )
( + + ) 1
+ R A1 R A2 f + R A2 R A3 f
1dA 1dA δ t − t 1 − 3t 2 − t 3
2
( 5 )
+ R A2 R A4 f + δ t − t 1 − t 2 − t 3 . (25)
1dA
2
第二次迭代：
( )
{ } ( 2 + ( + 2 + )) 1
Θ R (t) ∗ f (−t) = R f + R A2 R A2 f + R R A2 f
−
1 A1 1dA 1d A1 1dA δ t − t 1 − t 2 − t 3
2
( )
( + ( + 2 + )) 1
+ R A1 R A2 f + R A3 R A2 f + R R A2 f
1dA 1d A1 1dA δ t − t 1 − 3t 2 − t 3
2
( )
( + 2 + ) 5
+ R A4 R A2 f + R R A2 f δ t − t 1 − t 2 − t 3 . (26)
1d A1 1dA
2
第三次迭代：
{ }
Θ R(t) ∗ f (−t)
−
1
( )
( 2 + ( + 2 ( + 2 + ))) 1
= R f + R A2 R A2 f + R R A2 f + R R A2 f δ t − t 1 − t 2 − t 3
A1 1dA 1dA A1 1d A1 1dA
2
( )
( + ( + 2 ( + 2 + ))) 1
+ R A1 R A2 f + R A3 R A2 f + R R A2 f + R R A2 f δ t − t 1 − 3t 2 − t 3
1dA 1dA A1 1d A1 1dA
2
( )
( + 2 ( + 2 + )) 5
+ R A4 R A2 f + R R A2 f + R R A2 f δ t − t 1 − t 2 − t 3 . (27)
1dA A1 1d A1 1dA
2
对比等式 (25)、等式 (26) 和等式 (27)，三次结 迭代结果 (如图 7(b) 所示)，不同迭代次数所求得的
{ + }
果的前三个序列的相位完全一样，而幅度差异很 Θ R (t) ∗ f 1m 相位完全一样，幅度有微小差异。
小。接着可以基于等式 (20)，利用已知的 f + (−t)， 同时参考等式 (22)，可以发现图 7(b) 的前两个序列
1d
+
}
{
减去上文求解的 Θ R (t) ∗ f (−t) ，得到下行格 是由图 (4) 中的第二个和第三个序列移动 f 1m (t) 的
−
1
1 相位得到。因为 f + (t) 和 f + (t) 的相位差为 2 ∗ t 2 ，
+
林函数。f (−t) 的相位为 t = t 1 + t 2 + t 3 ，与 1d 1m
1d
{ } 2 与反射响应中第二个和第三个序列的相位差一样，
Θ R (t) ∗ f (−t) 第一个序列的相位完全相同，
−
1 +
因此将反射响应移动f (t)相位后可以得到上行格
所以相减操作是为了校正第一个序列的幅度，同时 1d +
林函数的初始估计，再将反射响应移动f 1m (t) 的相
将后续的幅度乘以−1，使子波的幅值归位。
位得到上行格林函数的一次估计，并将结果求和是
{ + }
数值模拟实验中，首先绘制了 Θ R (t) ∗ f
1d 为了去除类似反射响应中第三个和第五个序列这
(如图 7(a) 所示)，结合等式 (21) 和图 (4) 解析解模 种层间多次波的影响，最终得到准确的上行格林函
型，可以发现图 7(a) 中前三个序列是由图 (4) 中的 数。图7(b)中插图显示的矩形区域放大位置显示了
第三个到第五个序列移动 f + (t) 相位得到。接着 迭代求解的序列在第六次收敛到稳定状态。图 7(a)
1d
{ + }
绘制了 Θ R (t) ∗ f 的第一次、第五次和第六次 中第一个和第三个序列的幅值与图 7(b) 中第一个
1m