Page 69 - 《应用声学》2019年第6期

第 38 卷 第 6 期 耿丽等： 电磁激励器屏幕发声系统的数理模型 971

如下 [1] ： 式 (5) 表示矩形平板每一种振形 W mn (x, y) 对应一
2
∂ ξ(t, x, y) 个本征频率 ω mn ；式 (6) 则表示板上任一点的总挠
4
D∇ ξ(t, x, y) + M = 0, (1)
2
∂ t 度是每一种振形下的挠度叠加，其中系数 C mn 和
其中，ξ(t, x, y) 表示板上任一点 (x, y) 在时刻 t 的位
φ mn 由平板的初始条件决定。
移，又称 “挠度”；D 为板的弯曲刚度 (Bending stiff-
4
ness)；M 为平板单位面积质量；∇ 为四阶微分算 z
P↼r֒ϕ,θ↽
子，又称“双调和算子”。
令ξ(t, x, y) = ξ(t)W(x, y)代入式(1)，其中ξ(t)
r
仅与时间相关，W(x, y)为振形函数，有 θ
R
2
∂ ξ (t)
4
Dξ (t) ∇ W (x, y) + M W (x, y) = 0 y
2
∂ t ϕ
L x
4
2
∇ W (x, y) M ∂ ξ (t) ϕ σ
⇒ + = 0. (2) dσ
W (x, y) D ∂ t
2
再令 ξ (t) = C e j(ωt+φ) (其中 C 为系数，ω 为角 x L y
频率，φ为初相位)代入式(2)，有
图 3 装配在无限大障板上的四边简支矩形平板
2
ω M
4 Fig. 3 Rectangular panel screen simply supported
∇ W (x, y) − W (x, y) = 0
D in an infinite baffle
4
M ∇ W (x, y)
2
⇒ ω = , (3)
D W (x, y)
3
代入手机屏幕玻璃参数，密度ρ = 2700 kg/m 、
式 (3) 就是平板自由振动状态下，角频率 ω 所应满
杨氏模量 E = 55 GPa、泊松比 σ = 0.2、厚度 h =
足的条件。由于W (x, y)取决于平板的固有属性，因
0.8 mm、长L x = 160 mm、宽L y = 80 mm。则各本
此对应的ω 也称“本征频率”。
2
2
征频率为 f mn = ω mn /2π ≈ 65.3(m + 4n ) Hz，其
考察手机屏幕的装配，常采用四边粘胶的方式
中m = n = 1 对应屏幕最低本征频率 f min = f 11 ≈
贴装在中框支架上，除边框外，屏幕大部分区域与机
326 Hz。
壳内部电路板留有一定间隙，整个屏幕接近四边简
图 4 是将某 EMA 置于某屏幕顶部的模态仿真
支方式(如图2所示)。简单起见，假设所装配的中框
结果 (取 1∼6 阶)。由于 EMA 单体本身可视为弹簧
为一无限大障板，取坐标系如图 3所示，则可将振形
振子，所以屏幕振动的总模态中不仅包含屏幕自身
函数取为 [2]
的振动模态，还包含 EMA 单体的振动模态 (纵坐标
W (x, y)
表示位移，颜色越深表明位移越大)。
∞ ∞
∑ ∑ mπx nπy 一个不容忽视的问题是本征频率的分布密度。
= W mn (x, y)= sin sin , (4)
L x L y
m,n=1 m,n=1 由式 (5) 可知，增大屏幕尺寸、降低屏幕弯曲刚度、
其中，L x 、L y 表示屏幕长宽；(x, y) 表示屏幕上任一 降低屏幕厚度 (减小屏幕质量) 都可有效降低最低
点坐标；m, n = 1, 2, · · · 为振形函数在 x、y 轴方向 本征频率。一方面有助于把屏幕本征频率向低端扩
的模态序数。 展以提高屏幕对低频振动的响应能力，另一方面也
将式(4)代入式(3)，可得 有助于增加中高频的分布密度，使 EMA 屏幕发声
2
[( ) 2 ( ) ] √ [3]
mπ nπ D 的频响曲线范围更宽也更平滑 。但如果屏幕长
ω mn = + , (5)
L x L y M 宽比恰为整数倍时，会出现本征频率的“简并化” 现
∞
∑ 象 [1] ，如 L x = 2L y 时有 ω 42 = ω 23 ，表明 (4,2) 模态
ξ (t, x, y) = ξ mn (t) W mn (x, y)
m,n=1 和 (2,3) 模态的本征频率是同一个值。显然，简并化
∞
∑ j(ω mn t+φ mn ) 现象越严重，频率特性就越不均匀，在实际设计中应
= C mn e W mn (x, y), (6)
尽量避免。
m,n=1