Page 72 - 《应用声学》2019年第6期

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)
(
其中，u mn 表示平板在 (m, n) 模态下的振动速度 S mn = S (m, n) , γ, L x /L y . (30)
幅值。再将式 (24) 代入式 (23) 并对整个平板做积
分，可得平板在任意 (m, n) 模态下对观察点产生的 图5 引自文献[5]，横坐标为波数比 γ，纵坐标为
声压： 辐射效率S mn 。总体而言 [6] ，(奇，奇) 模态的辐射效
率最高，而(偶，偶)模态最低，(奇，偶)或(偶，奇)模
P mn (r, φ, θ)
[ m jα ]
L x L y (−1) e − 1
kρ 0 c 0 j(ωt−kr)
= ju mn e 2
2πr mnπ 2 (α/mπ) − 1 10 0
[ n jβ ]
(−1) e − 1
× 2 . (25) 10 -1
(β/nπ) − 1 m,n
1,1
2.2 模态辐射效率 10 -2
S mn 1,3
为研究各模态的辐射效率，即各模态辐射阻的
10 -3 3,3
相对关系，对式 (25) 做进一步处理，定义各模态辐
1,2
射声强I mn (r, φ, θ)为 10 -4
2,3
2 2,2
I mn (r, φ, θ) = |P mn (r, φ, θ)| /(2ρ 0 c 0 ). (26) 10 -5 ⊲ 
γ
则平板向半空间辐射的总功率PW mn 为 (a) ൤வॎ౜ᄊͰ᫽വগ
∫
PW mn = I mn (r, φ, θ) dS
10 0
2π π/2
∫ ∫ 2 m,n = 1,1
|P mn (r, φ, θ)| 2 b/a
= r sin θdθdφ. (27) 1 2
4
0 0 2ρ 0 c 0 10 -1 8

平板的辐射阻R mn 定义为 S ֒ & S ֒ 10 -2
R mn = PW mn /u 2 , (28)
mn_r m,n = 2,2
10 -3 b/a
其中, 1 2
4
8
∫ L x ∫ L y 10 -4
1 1 2
2
u mn_r = [u mn W mn (x, y)] dxdy
L x L y 0 0 2
10 -5 ⊲ 
1 2 γ
= u mn ,
8 (b) ஈԫܱॎඋ
其物理意义是对平板上各点速度求均方根值，即平
板在(m, n)模态下的等效活塞振动速度。 10 0
最后，将R mn 对空气介质和平板面积进行归一
10 -1
化，可得辐射效率S mn 为 m,n
1,2
R mn 10 -2 1,1
S mn =
S mn 1,3
ρ 0 c 0 L x L y
[
1
2 ∫ π/2 ∫ π/2 (−1) m e jα − 1 ] 2 10 -3 b/a

64k L x L y 1,5 3
= 5 4
2
2 2
m n π 6 0 0 (α/mπ) − 1 1,4 2
10 -4
[ n jβ ] 2 1,2
(−1) e − 1
× 2 sin θdθdφ. (29) 10 -5
(β/nπ) − 1 ⊲ 
γ
对式 (29) 进一步处理，将 (m, n) 按照 (奇，奇)、 (c) ܱॎඋ֗വগऀՂᄱՏ
(奇，偶)、(偶，奇)、(偶，偶)四种状态分类并假设波数 图 5 若干条件下的辐射效率
比 γ = k/ψ mn ≪ 1，则可将 S mn 表示为 (m, n)、γ、 Fig. 5 Radiation efficiency under some different
外形比L x /L y 的函数并绘制曲线。 conditions