Page 71 - 《应用声学》2019年第6期

第 38 卷 第 6 期 耿丽等： 电磁激励器屏幕发声系统的数理模型 973

∞ + ( + )
∑ Q = G F + I − G G Y
ξ (t, x, y) = [ξ mn_H (t)+ξ mn_P (t)]
( + )
m,n=1 = Q 0 + I − G G Y , (19)
× W mn (x, y), (13) +
其中，G 是G的Moore-Penrose逆，I 是单位阵，Y
其中，ξ mn_H (t)、ξ mn_P (t)分别表示齐次解与特解， 是任意R 维列向量，Q 0 称为Q的极小最小二乘解。
而式(6)中的ξ mn (t)就是此处的ξ mn_H (t)。 因此，若给定一个驱动力向量 Q，要求屏幕必
另外由式 (11) 可知，模态力与驱动力之间可通 须激发出某个特定的模态力向量 F ，则需要通过调
过振形函数关联。若令R = m×n，并将模态力的模 整驱动力的位置实现，即改变振形函数矩阵 G。由
值 f mn 、振形函数 W mn 按照本征频率 ω mn 从低到 此，按照某种规则设定驱动力位置是应用 EMA 屏
高的模态顺序排列，则有 (忽略系数 4/L x L y 及 e jωt 幕发声方案的一项重要技术，论文第 3 节将做进一
项) 步探讨。

T
T
F =[f 1 , f 2 , · · · , f R ] , Q=[q 1 , q 2 , · · · , q N ] , (14)
2 屏幕声辐射
G =
  2.1 辐射声压
W 1 (x 1 , y 1 ) W 1 (x 2 , y 2 ) · · · W 1 (x N , y N )
 . .  如图 3 所示，P (r, φ, θ) 为远场某观察点，dσ =
 . . . . .  ,
 . .  (σ cos φ σ , σ sin φ σ , 0) 为平板上某面元，由 Rayleigh
 
W R (x 1 , y 1 ) W R (x 2 , y 2 ) · · · W R (x N , y N ) 积分可知，dσ 在P (r, φ, θ)点产生的声压为 [1]
R×N
(15) kρ 0 c 0
dP (r, φ, θ) = j u σ e j(ωt−kR) dσ, (20)
F = GQ. (16) 2πR
其中，dσ 表示面元 dσ 的面积，u σ 表示面元 dσ 的
式(16) 表明，由驱动力向量 Q 通过振形函数矩阵 G 振动速度幅值，R 为面元到观察点的距离，ρ 0 为空气
可以产生模态力向量 F 。反之，已知模态力向量 F
密度，k = ω/c 0 为波数，ω 为面元振动角频率，c 0 为
和振形函数矩阵G，亦可反推驱动力向量Q。
声波在空气介质中的传播速度。由于是远场，分母
一种比较简单的情况是 R = N 时 (G 为方阵)， 中的 R 近似用观察点到坐标原点的距离 r 来代替，
若满足 rank(G) = rank(G, F ) = N (此时G可逆)，
但指数中的R 须考虑相位影响。由几何关系知，
则Q可直接表示为 σ · r
R ≈ r − σ cos (σ · r) = r − σ
Q = G −1 F . (17) σr
= r − σ sin θ (cos φ cos φ σ + sin φ sin φ σ ) . (21)
当 R > N 时 (模态力向量维数通常要大于驱动
∆
力 向 量 维 数)， G 非 方 阵 不 可 求 逆。 但 若 满 足 再考虑到面元坐标 dσ = (σ cos φ σ , σ sin φ σ , 0) =
rank(G) = rank(G, F ) = N (即 G 列满秩)，则 (x, y, 0) , 代入式(21)中可得
( )
Q可表示为 1 αx βy
R ≈ r − + , (22)
k L x L y
( T ) −1 ( T )
Q = G G G F . (18)
其中，α = kL x sin θ cos φ，β = kL y sin θ sin φ，再代
式 (18) 表 明， 在 给 定 F 的 情 况 下， 只 要 满 足 入式(20)中可得
rank(G) = rank(G, F ) = N，则 Q 有唯一解，且
dP (r, φ, θ)
不难验证，式 (17) 就是式 (18) 在 G 可逆情况下的
kρ 0 c 0 j(ωt−kr) j(αx/L x +βy/L y )
特例。 = j u σ e e dσ. (23)
2πr
第二种情况是 rank(G) = rank(G, F ) < N，此 面元 dσ 的振动速度幅值u σ 用振形函数表达如下：
时Q有无穷多个解。 ∂ξ(t, x, y)
u σ = u σ (x, y) =
第三种情况是 rank(G) ̸= rank(G, F )，此时 Q ∂t
∞
无解。但无论 Q 是无解还是有无穷多个解，实际上 ∑
= u mn W mn (x, y), (24)
都可以求Q的最小二乘解 [4] m,n=1