Page 125 - 《应用声学》2020年第1期

第 39 卷 第 1 期 张旭等： 基于 L-曲线参数优化的均匀声场重建算法 121

器功率与重建误差，且阵列能量效率较高，具有良好
0 引言 的声场重建效果。

扬声器阵列的均匀声场重建是指控制扬声器 1 基于L-曲线法的均匀声场重建算法
阵列输入的幅值和相位，使得控制区域的重建
声场均匀化，同时增大明区能量占比。为达到目 1.1 均匀声场重建模型
的，已提出多种控制方法，大体可分为两类：一类 将控制区域划分为明区以及暗区。明区为目标
将建立能量控制作为目标函数，如能量对比度控 声场，为达到良好的均匀声场，该期望声压幅值设为
制 (Acoustic contrast control, ACC) 法 [1−2] 、声能 1。基于最大化控制目标区域声场能量的目的，设置
量差最大化控制 (Acoustic energy difference max- 暗区并将暗区期望声压设为 0。声场重建区域明暗
imization, AEDM) 法 [3] 等；另一类将声场重建误 区划分如图1所示。
差作为目标函数，如基于最小二乘准则的多点
௚ӝ
匹配法 (Pressure matching with the least-squares ੴܦ٨᫼ѵ ఍ӝ

criterion, PM-LS) [4−5] 等。
H 1
在声场重建中，往往出现不适定问题 [6] 。其中
x
最常用的是使用 Tikhonov 正则化来解决不适定的 B 1 B 2 B 3
声场问题 [7] ，而正则化程度取决于正则化参数。对
图 1 声场重建区域明暗区示意图
于正则化参数的选取，文献 [8–9] 中提出了使用平
Fig. 1 Schematic diagram of the light and dark
滑矩阵的广义 Tikhonov 正则化。在文献 [8] 中，导 area of the sound field reconstruction
数平滑范数应用于自适应波场合成，以减少扬声器
激励信号的相位变化。Betlehem 等 [2] 设计了一种 在控制区域 0 ∼ B 3 内，明区范围 B 1 ∼ B 2
设置 M 个控制点，暗区 0 ∼ B 1 以及 B 2 ∼ B 3 设
方法，计算扬声器权重的平方和来限定Tikhonov参
置 N 个控制点。明暗区通过控制点到阵元的距
数上限，然后采用牛顿法确定正则化参数。另一个
离r b (m = 1, 2, · · · , M b ) 和 r d (m = 1, 2, · · · , N d )
方法就是截断奇异值分解 (Truncate singular value m m
b
b
b
得到相应的阵列响应 p b = [p(r , r , · · · , r )] 和
decomposition, TSVD)，对传递矩阵进行奇异值分 1 2 M
d
d
d
p d = [p(r , r , · · · , r )]。而对于L个扬声器阵元权
解，并且只有较重要的特征值才会被用于声场重建。 1 2 M
重g L ，两者关系表示如下：
该方法减少并消除了较小奇异值对解的影响，但
是对于正则化参数的选取很难确定一个合理的标 p b (r) = H b g L , p d (r) = H d g L , (1)
准 [10] 。同时扬声器阵列功率受到物理系统的制约，
式(1)中，H b 为明区传递矩阵，H d 为暗区传递矩阵。
需要考虑扬声器驱动信号功率与重现误差之间的
传递矩阵可定义为
平衡问题。因此怎样在考虑扬声器功率限制的同时  
b
b
b
H(r |r ) · · · H(r |r b )
合理地选择正则化参数是亟需解决的问题。  1 a1 1 aM 
 . . . . . . 
在本文中，声场重建模型以最小化声场重建误 H b =  . . .  ,
 
b
差为目标函数，并约束扬声器功率上限。针对正则 H(r |r ) · · · H(r |r aM )
b
b
b
1
N
a1
化参数选择问题，将 L-曲线法 [11] 引入均匀声场重  d d d d 
H(r |r ) · · · H(r |r aM )
a1
1
1
建，该方法以重建误差作为横轴，扬声器功率作为纵  . . . 
 . . . . . .  (2)
 .
轴得到拟合曲线，然后选取该曲线上曲率最大的点 H d =  

d
d
d
d
所对应的参数值作为 Tikhonov 正则化参数的选值。 H(r |r ) · · · H(r |r aM )
a1
N
1
T
作为对比，分别用传统最小二乘法、广义交叉验证 整个控制区的传递矩阵H c = [H b , H d ] ，控制
T
(Generalized cross-validation, GCV)法以及L-曲线 区期望声压P c = [P b , P d ] 。
法进行性能仿真，并在限定功率下对明区重建声场 本文优化模型是在考虑最小化控制区域重建
进行测试。仿真及实验证明，L-曲线法平衡了扬声 声场的误差函数的基础上，约束扬声器权重的平方