Page 126 - 《应用声学》2020年第1期

122 2020 年 1 月

和上限，其优化模型如下： 大的点所对应的参数，就是 L-曲线法选择的正则
2 化参数 λ L ，该曲率最大的位置即为 L-Corner，其表
min ∥H c g − P c ∥
g 达式为
2
s.t. ∥g∥ 6 K 1 , (3) µ v − µ v
′′ ′
′ ′′
λ L = arg max ′2 ′2 3/2 , (12)
其中，∥ · ∥ 为 2-范数，g 为扬声器权向量，K 1 为其扬 (µ + v )
其中，µ 、v 和 µ 、v 分别是 µ、v 对 λ 的一阶、二阶
′′
′′
′
′
声器功率限制参数。
导数。将求得的参数值λ L 带入式(5) 得到扬声器阵
1.2 L-曲线选取正则化参数
列权向量g L 。
为获得扬声器阵列权重，需对优化模型进行求
1.3 声场均匀控制的性能指标
解。式(3)具有二次目标和单个二次约束，因此该优
为衡量扬声器阵列在控制区域的均匀声场重
化模型为凸优化问题。式 (3) 对应的广义拉格朗日
建效果，本文从以下三个参数对重建声场性能进行
罚函数可以写为
评价，分别为明区重建均方误差、阵列能量效率以
2 2
L(g, λ) = ∥H c g − P c ∥ + λ(∥g∥ − K 1 ), (4)
及声场均匀度。重建性能指标如下。
式 (4) 中，λ 为扬声器阵列约束权重因子，用于平衡 1.3.1 明区重建均方误差
重建声场误差与扬声器权重g，λ > 0。式(4)可通过 定义为明区重建声场与期望声场的声压幅值
∂L
= 0求解，得到扬声器权向量如下： 之差的均方和与期望声场的声压幅值均方和之比，
∂g λ
如式(13)所示：
H
H
g(λ) = (H H c + λI) −1 H P c , (5)
c c
2 2
∥p b − P b ∥ 2 ∥H b g − P b ∥ 2
式(5) 中，H 为共轭转置，I 为单位矩阵。矩阵 H c 不 E rr = 2 = 2 , (13)
∥P b ∥ 2 ∥P b ∥ 2
是满秩矩阵，因此进行奇异值分解 (Singular value
式 (13) 中，p b 、P b 分别为明区重建声场声压与明区
decomposition, SVD)，如下：
期望声压；H b 为明区传递函数矩阵。该指标用于衡
n
∑
H
H c = UΣV H = u i s i v , (6) 量声场重建效果的准确度。
i
i=1
1.3.2 声能量阵列效率
其中，Σ ∈ R n×n 为对角矩阵，Σ = diag(s 1 · · · s n ),
除了明区重建误差外，仿真中还需要比较各种
s 1 > s 2 > · · · > s n > 0。U ∈ R m×n 和 V ∈ R n×n
情况下扬声器阵列辐射到目标区域的声能量大小，
分别为m × n和n × n阶酉矩阵：
本文使用扬声器阵列在明区的声能量效率进行评
U = (u 1 , u 2 , ..., u m ), (7) 价，明区控制点上平均声能量可以表示为
Q
V = (v 1 , v 2 , ..., v m ). (8) 1 ∑ 1
H
e tm = p H p p p b
tm tm =
b
因此，式(5)可以改写为 Q q=1 Q
n 1
T
H
H
∑ u P c = g H H b g, (14)
i
g(λ) = f i v i , (9) Q b
s i
i=1
式(14)中，Q为目标区域控制点的数量，p tm 为明区
s 2 i
其中，f i = 2 , i = 1, 2, · · · , n 为滤波系数。相 中第 m 个控制点的阵列响应，H b 为对应的扬声器
s + λ
i 阵列单元到明区内控制点的传递函数矩阵。阵列能
应地，∥H c g(λ) − P c ∥ 2 、∥g(λ)∥ 2 分别表示为
量效率的定义为明区 M 个控制点的平均声能量与
n
T
∑ u P c
i
∥g(λ)∥ = f i v i , (10) 扬声器阵列输出总能量的平均声能量的比值，其表
2
s i
i=1 达式如下：
n
∑ ( H H )
T
∥H c g(λ) − P c ∥ = (1 − f i )s P c . (11) g H H b g
b
2 i C tma = 10 lg H . (15)
i=1 Mg g
以 µ = lg ∥H c g(λ)−P c ∥ 2 为横轴、v = lg ∥g(λ)∥ 2 为 该方程代表了扬声器阵列辐射到明区的声能量效
纵轴并以 λ 为参量得到拟合曲线，该曲线上曲率最 率，即对总能量的利用效率。方程中对控制区域控