Page 28 - 《应用声学》2020年第4期

514 2020 年 7 月

估计同样涉及到非线性函数的计算，算法复杂度较 本文提出的频率估计算法的流程如下：
高。I-Fang算法性能与I-Rife算法接近，但计算量进 步骤 1 对采样信号进行 N 点 FFT 运算，寻找
一步增大，两者在很低信噪比时，依然存在性能下降 幅度谱最大值对应的数字频率k 0 。
和不稳定问题。 步骤 2 利用频谱细化方法计算 |X(k 0 ± 0.5)|
两点谱值。
2 本文算法和偏差分析 步骤3 利用式(8)和式(9)估计信号频率。

2.1 本文算法 2.2 偏差分析

为了提高低信噪比时的频率估计性能，同时减 本文算法得到的数字频率偏差表示式简单，计
小计算量，本文提出一种快速有效的频率估计方法， 算量小，进一步分析表明，还可以得到无噪声情况下
运用频谱细化方法计算频谱值 |X(k 0 ± 0.5)|，利用 频偏的偏差闭合表示式，可用于频率偏差校正，以进
这两点谱值估计数字频偏，不需要判别频率修正方 一步提高测频精度。
向，提高了频率估计的稳定性。 数字频偏δ 估计的偏差定义为
{ }
根据式 (3)，k 0 点左右相邻两点频谱幅度的 b δ = E δ − δ. (10)
ˆ
比值为
根据式(9)和式(10)，频率估计的偏差为
|X(k 0 + k)|
P k =
|X(k 0 − k)| b f = b δ ∆f = f s b δ . (11)
N
|sin(π(k − δ))| |sin(π(k + δ)/N)|
= · . (5) 因为数字频率偏差的偏差 b δ 与频率偏差 b f 之间的
|sin(π(k − δ)/N)| |sin(π(k + δ))|
关系是线性的，因此只需分析数字频偏的偏差b δ 。
式 (5) 中 由 于 (π(k − δ) + π(k + δ))/2 = kπ， 则
sin(π(0.5+δ)/N) 和 sin(π(0.5−δ)/N) 是关于
|sin(π(k − δ))| = |sin(π(k + δ))|，假设 π(k − δ) ≪
δ 的函数，对其进行泰勒级数展开，在无噪声情况下，
N 和 π(k + δ) ≪ N，则由公式 (5) 可得数字频率偏
根据式(8)和式(10)可得
差估计值：
ˆ
2k b δ = δ − δ
ˆ
δ k = k −
1 + P k 1 π ) 2 3 |X(k 0 + 0.5)|
(
≈ (0.5 − δ)
2k |X(k 0 − k)|
= k − . (6) 6 N |X(k 0 + 0.5)| + |X(k 0 − 0.5)|
|X(k 0 + k)| + |X(k 0 − k)| ( ) 2
1 π 3 |X(k 0 −0.5)|
− (0.5+δ) .
当 k = 1 时，即利用 FFT 频谱中的 |X(k 0 − 1)| 和 6 N |X(k 0 +0.5)|+|X(k 0 −0.5)|
|X(k 0 + 1)| 值来估计数字频偏 δ，对应的表达式 (12)
如下： 有噪声时，定义与信噪比有关的数字频偏的
2 偏差为
ˆ
δ = 1 −
1 + P 1 { }
ˆ
b δ (γ) = E δ |γ − δ, (13)
2 |X(k 0 − 1)|
= 1 − . (7)
|X(k 0 + 1)| + |X(k 0 − 1)|
可以证明，至少存在一个 SNR 值 γ 满足 b δ (γ) = 0。
式 (7) 利 用 频 谱 值 |X(k 0 − 1)| 和 |X(k 0 + 1)| 计 算 证明过程如下：
数字频偏易受噪声的影响，为了提高低信噪比 根据式(8)和式(13)可得
下的频率估计精度，利用频谱细化获得频谱值 { |X (k 0 + 0.5)| − |X (k 0 − 0.5)| }
|X(k 0 − 0.5)|和|X(k 0 + 0.5)|，代入式(6)得到 b δ (γ) = 0.5E |X (k 0 + 0.5)| + |X (k 0 − 0.5)| − δ
1 1 (14)
ˆ
δ = − = 0.5E (E {Y +0.5 } − E {Y −0.5 }) − δ,
2 1 + P 0.5
1 |X(k 0 − 0.5)| 其中，
= − . (8)
2 |X(k 0 + 0.5)| + |X(k 0 − 0.5)| |X (k 0 + 0.5)|
Y +0.5 = ,
信号频率的估计值为 |X (k 0 + 0.5)| + |X (k 0 − 0.5)|
|X (k 0 − 0.5)|
ˆ
f 0 = (k 0 + δ)∆f. (9) Y −0.5 = |X (k 0 + 0.5)| + |X (k 0 − 0.5)| .