Page 28 - 《应用声学》2020年第4期
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             估计同样涉及到非线性函数的计算,算法复杂度较                                本文提出的频率估计算法的流程如下:
             高。I-Fang算法性能与I-Rife算法接近,但计算量进                         步骤 1 对采样信号进行 N 点 FFT 运算,寻找
             一步增大,两者在很低信噪比时,依然存在性能下降                           幅度谱最大值对应的数字频率k 0 。
             和不稳定问题。                                               步骤 2 利用频谱细化方法计算 |X(k 0 ± 0.5)|
                                                               两点谱值。
             2 本文算法和偏差分析                                           步骤3 利用式(8)和式(9)估计信号频率。

             2.1 本文算法                                          2.2  偏差分析

                 为了提高低信噪比时的频率估计性能,同时减                              本文算法得到的数字频率偏差表示式简单,计
             小计算量,本文提出一种快速有效的频率估计方法,                           算量小,进一步分析表明,还可以得到无噪声情况下
             运用频谱细化方法计算频谱值 |X(k 0 ± 0.5)|,利用                   频偏的偏差闭合表示式,可用于频率偏差校正,以进
             这两点谱值估计数字频偏,不需要判别频率修正方                            一步提高测频精度。
             向,提高了频率估计的稳定性。                                        数字频偏δ 估计的偏差定义为
                                                                                     { }
                 根据式 (3),k 0 点左右相邻两点频谱幅度的                                      b δ = E δ − δ.            (10)
                                                                                       ˆ
             比值为
                                                               根据式(9)和式(10),频率估计的偏差为
                   |X(k 0 + k)|
              P k =
                   |X(k 0 − k)|                                              b f = b δ ∆f =  f s  b δ .  (11)
                                                                                          N
                     |sin(π(k − δ))|  |sin(π(k + δ)/N)|
                 =                  ·                 . (5)    因为数字频率偏差的偏差 b δ 与频率偏差 b f 之间的
                   |sin(π(k − δ)/N)|   |sin(π(k + δ))|
                                                               关系是线性的,因此只需分析数字频偏的偏差b δ 。
             式 (5) 中 由 于 (π(k − δ) + π(k + δ))/2 = kπ, 则
                                                                   sin(π(0.5+δ)/N) 和 sin(π(0.5−δ)/N) 是关于
             |sin(π(k − δ))| = |sin(π(k + δ))|,假设 π(k − δ) ≪
                                                               δ 的函数,对其进行泰勒级数展开,在无噪声情况下,
             N 和 π(k + δ) ≪ N,则由公式 (5) 可得数字频率偏
                                                               根据式(8)和式(10)可得
             差估计值:
                                                                      ˆ
                              2k                                 b δ = δ − δ
                   ˆ
                   δ k = k −
                            1 + P k                               1 π  ) 2       3       |X(k 0 + 0.5)|
                                                                   (
                                                               ≈         (0.5 − δ)
                                 2k |X(k 0 − k)|
                      = k −                        .    (6)       6 N             |X(k 0 + 0.5)| + |X(k 0 − 0.5)|
                            |X(k 0 + k)| + |X(k 0 − k)|              (   ) 2
                                                                    1 π           3       |X(k 0 −0.5)|
                                                                  −        (0.5+δ)                          .
             当 k = 1 时,即利用 FFT 频谱中的 |X(k 0 − 1)| 和                  6 N             |X(k 0 +0.5)|+|X(k 0 −0.5)|
             |X(k 0 + 1)| 值来估计数字频偏 δ,对应的表达式                                                              (12)
             如下:                                                   有噪声时,定义与信噪比有关的数字频偏的
                              2                                偏差为
                    ˆ
                    δ = 1 −
                           1 + P 1                                                    {   }
                                                                                       ˆ
                                                                            b δ (γ) = E δ |γ  − δ,       (13)
                                 2 |X(k 0 − 1)|
                     = 1 −                         .    (7)
                           |X(k 0 + 1)| + |X(k 0 − 1)|
                                                               可以证明,至少存在一个 SNR 值 γ 满足 b δ (γ) = 0。
             式 (7) 利 用 频 谱 值 |X(k 0 − 1)| 和 |X(k 0 + 1)| 计 算   证明过程如下:
             数字频偏易受噪声的影响,为了提高低信噪比                                  根据式(8)和式(13)可得
             下的频率估计精度,利用频谱细化获得频谱值                                          { |X (k 0 + 0.5)| − |X (k 0 − 0.5)|  }
             |X(k 0 − 0.5)|和|X(k 0 + 0.5)|,代入式(6)得到            b δ (γ) = 0.5E  |X (k 0 + 0.5)| + |X (k 0 − 0.5)|  − δ
                     1      1                                                                            (14)
                 ˆ
                δ =   −                                              = 0.5E (E {Y +0.5 } − E {Y −0.5 }) − δ,
                     2   1 + P 0.5
                     1          |X(k 0 − 0.5)|                 其中,
                  =   −                            .    (8)
                     2   |X(k 0 + 0.5)| + |X(k 0 − 0.5)|                           |X (k 0 + 0.5)|
                                                                    Y +0.5 =                            ,
                 信号频率的估计值为                                                  |X (k 0 + 0.5)| + |X (k 0 − 0.5)|
                                                                                   |X (k 0 − 0.5)|
                            ˆ
                            f 0 = (k 0 + δ)∆f.          (9)         Y −0.5 =  |X (k 0 + 0.5)| + |X (k 0 − 0.5)|  .
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