Page 29 - 《应用声学》2020年第4期

第 39 卷 第 4 期 温兵会等： 一种快速有效的正弦波信号频率估计方法 515


根据公式(2)可得  sgn(b δ (γ)) = −sgn(δ), γ → 0,
综上可得，
|X (k 0 + 0.5)|  sgn(b δ (γ)) = sgn(δ), γ → +∞,
其中，sgn(·)表示符号函数。如上所述，高SNR和低
= A e j(θ 0 −πN/(N−1)(0.5−δ)) X +0.5 + W (k 0 + 0.5)

SNR情况下，偏差的正负号是相反的。因此，存在至
√
2
2
= AX +0.5 X (+0.5) + X (+0.5), (15) 少一个SNR值γ 0 满足b δ (γ 0 ) = 0。
r
i
其中，X +0.5 = sin(π(0.5 − δ))/sin(π(0.5 − δ)/N)，
3 计算量与性能分析
W (k 0 + 0.5)表示复高斯噪声。
X r (+0.5) = cos(θ 0 − πN/(N − 1)(0.5 − δ)) 3.1 仿真实验及性能分析
√ 信 噪 比 定 义 为 SNR = A /σ ， 采 样 频 率
2
2
+ N/(2X 2 · γ)W r (k 0 + 0.5), n
+0.5
f s = 48 kHz，信号长度 N = 4800，频率分辨率
X i (+0.5) = sin(θ 0 − πN/(N − 1)(0.5 − δ))
∆f = f s /N = 10∆f = f s /N = 10 Hz，信号频率为
√
+ N/(2X 2 · γ)W i (k 0 + 0.5), f 0 = (256 + 0.10)∆f/2。对于复正弦信号，在频率、
+0.5
W r (k 0 + 0.5) ∼ N(0, 1) 和 W i (k 0 + 0.5) ∼ N(0, 1)， 幅度、相位参数均未知的情况下频率估计的克拉美
罗界(Cramer-Rao lower bound, CRLB) [9] 为
因此，可以得到包含高斯随机变量的 |X(k 0 + 0.5)|
的形式为 var f > CRLB
{ }
ˆ
6f 2
|X(k 0 + 0.5)| s
= . (20)
2
2
√ 4π · SNR · N(N − 1)
{
2 N 1 N
= AX +0.5 1 + K + 2 为了验证本文算法的频率估计性能，把本文
X +0.5 2γ X +0.5 2γ
算法与 Rife 算法 [5] 、I-Rife 算法 [7] 、Candan 算法 [8]
} 1/2
[ 2 2 ]
· W (k 0 + 0.5) + W (k 0 + 0.5) , (16) 和I-Fang算法 [10] 进行频率估计性能比较。1000 次
i
r
Monte Carlo仿真，信噪比变化范围为−22 ∼ 20 dB，
其中，K = cos(θ 0 − π(N − 1)/N(0.5 − δ))W r (k 0 +
数字频偏δ = 0.1，本文算法及以上几种算法的频率
0.5) + sin(θ 0 − π(N − 1)/N(0.5 − δ))W i (k 0 + 0.5)。
估计均方根误差和频率估计偏差随信噪比的变化
当SNR满足γ → 0时，根据式(16)可得
如图1和图2所示。
|X(k 0 + 0.5)| 图 1 和图 2 表明，当信噪比大于 10 dB 时，5 种
√
N 2 算法频率估计性能接近；信噪比小于 10 dB 时，Rife
2
≈ (W (k 0 + 0.5) + W (k 0 + 0.5)), (17)
r
i
2γ 算法的频率估计性能最差，Candan 算法性能次之，
I-Rife算法、I-Fang算法和本文算法估计性能接近。
|X(k 0 − 0.5)|
√
N 2 2.0
2
≈ (W (k 0 − 0.5) + W (k 0 − 0.5)). (18) Rifeካข
r
i
2γ
1.6 I-Rifeካข
可 以 证 明 W(k 0 + 0.5) 和 W(k 0 − 0.5) 是 不 相 关 1.2 Candanካข
I-Fangካข
的。W r (k 0 + 0.5)、W i (k 0 + 0.5)、W r (k 0 − 0.5) 和 کவಪឨࣀ/Hz వ஡ካข
CRLB
W i (k 0 − 0.5) 不相关，且具有相同的分布，则根 0.8
据式(17)和式(18)可得 0.4
E {Y +0.5 } = E {Y −0.5 } . (19) 0
-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20
因此，根据式(14)可得，lim b δ (γ) = −δ。 η٪උSNR/dB
γ→0
另一方面，当 SNR 取值满足 γ → +∞时，它将 图 1 频率估计均方根误差随信噪比变化
近似于无噪声的情况，根据公式 (12)，偏差 b δ (+∞) Fig. 1 Frequency estimation root mean square
和δ 有相同的符号。 error varies with SNR