Page 117 - 《应用声学》2021年第3期

第 40 卷 第 3 期 朱广平等： 点簧簧片振动特性数值分析 435

一般的典型簧片呈狭长的楔形。因此，设簧片
2 点簧簧片振动固有频率计算
宽度沿长度(x方向)的变化为
采用有限元方法建立非均匀截面点簧簧片振
b(x) = b 0 − γx, (4)
动模型并求解其固有频率方程。将簧片离散化，在
其中，b 0 是初始宽度，γ 是斜边的变化斜率。簧片截 单元上位移可由形函数及节点位移近似 u = NU，
面是矩形，所以式(3)中A(x) = h · b(x)，h为簧片的 其中 N 为形函数向量，U 为单元节点位移向量，速
厚度。 度为 ˙ u = NU，U 为单元节点速度向量。
˙
˙
u为垂直梁的中性面方向上的位移，y 为梁厚度 采用拉格朗日方程进行单元分析，整合所有单
方向的坐标。非均匀截面上力矩和转动惯量分别为 元后建立点簧簧片的运动方程组，从而得到其固有

2
∂ u 方程进而计算固有频率。簧片较小较薄不计损耗，
M = EI(x) , (5)
dx 2 认为是无损耗的自由振动，拉格朗日方程为
∫ d ( )
2
I(x) = y dA. (6) ∂T + ∂Λ = 0, (11)
dt ∂ ˙u ∂u
A(x)
该方程为变系数微分方程，除 I(x)、A(x) 为几种比 其中，T 为动能，Λ为势能，˙u为速度。
较特殊的函数形式外，方程的解很难得到解析解形 梁单元的动能为
∫
式。因此，下面采用有限元方法对上述振动方程描 T (e) = 1 ρA(x) ˙u dx, (12)
2
述的有质量加载的变截面点簧金属簧片的振动模 L 2
其中，A(x) = h · b(x)。
型，通过算例求解并分析其固有频率随点簧位置、点
∫ ( 2 ) 2
簧质量以及不同边界条件下的变化规律。 (e) E · I(x) d (NU)
Λ = dx
2 L dx 2
∫
1.2 边界条件 E · I(x) T T
= U D DU dx. (13)
簧片一般固定在簧管端口，理想情况下可认为 2 L
将各个单元的刚度矩阵和质量矩阵整合并带
簧片一端固定不动，另一端自由，其边界条件为
入到拉格朗日方程中，并考虑到簧片上点簧的集中

∂u
u| L=0 = 0, = 0. (7) 质量负载，得到整个簧片的运动方程：
∂x L=0
¨
然而，在实际中使用的材料并非能做到严格固定，因 (M + m 0 )U + KU = 0. (14)
此不能当作固定不动边界，而应近似认为是弹簧支
从而得到特征方程为
撑边界，其边界条件为
[K − λ(M + m 0 )]U = 0. (15)
F = −k p u, M = −k θ θ, (8)
2
由于 λ = ω ， 进而可求解出各阶固有角频率
其中，k p 和k θ 为刚度系数。 ω i (i = 1, 2, 3, · · · )。
将簧片上的点簧质量看作为质量负载条件，其
3 算例分析
对簧片的力和力矩作用可描述为

2
F = −m 0 ω u + jωα dm m 0 u, (9) 3.1 点簧对簧片振动基频和谐频的影响
古人常采用熟铜作为金属簧片的材料，因
2
M = −ω Iθ + jωα dm Iθ, (10)
此算例中取杨氏模量 E = 11 10 Pa， 密度 ρ =
其中，α dm 为损耗系数，m 0 为点簧质量。由于点簧 8700 kg/m 。算例中取簧片长 23.5 mm，宽度变
3
质量相对于整个狭长簧片只占很小一段，可以看作 化曲线为7.5 − 0.016x，x为长度坐标，厚0.7 mm，点
集中质量负载，此时力矩可为 0；当不考虑质量负载 簧质量 0.2 g，点簧位置在簧片的自由端。计算前 6
与金属簧片之间的能量损耗时，点簧质量负载可简 阶固有频率如表 1 所示，并与未点簧的簧片进行了
2
化为F = −mω u，M = 0。 对比。