Page 116 - 《应用声学》2021年第3期

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程的解析解形式，而绝大部分情况均是无法获得其
0 引言
精确的解析解，因此计算中常采用数值解法 [10−11] 。
笙是中国传统民间乐器，在中国古代乐器家族 近年来工业中对功率超声源簧片 [12] 的振动问题，
中占有重要的一席之地。不仅如此，17 世纪笙等簧 采用有限元分析方法 [13−14] 进行数值分析，这对精
管乐器传入欧洲，为西方音乐家、乐器制造家改进 确定量分析传统簧管类乐器的点簧簧片的振动问
簧管类乐器，尤其是对簧管乐器的关键部件 ——簧 题也具有借鉴意义。
片的改进起到了积极的作用，从而为创制、改进风 本文针对非均匀截面的点簧金属簧片振动问
琴、口琴等新的簧管乐器做出了重要贡献 [1] 。笙的 题开展研究，对其建立非均匀截面并具有质量负载
音高除与管长有关外 [2] ，还主要与簧片尺寸、厚度 的振动模型。由于该模型的非均匀性，难以获得解
以及点簧技术有关。中国古人早期制作簧片常采用 析解形式，为了精确定量分析，采用有限元方法对模
芦苇或竹片，由于此类材料耐用性差，后期主要采用 型进行数值求解，通过算例定量分析点簧位置及质
铜等其他金属材料制作簧片，如汉代马王堆出土的 量、边界条件对簧片振动特性的影响，揭示点簧簧
多枚两千多年前的金属簧片至今保存完好 [3] 。古代 片振动规律，为制作、复原中国传统簧管类乐器提
金属簧片的制作技艺之高，还体现在对簧片的点簧 供物理依据。
(又作典簧、点绿) 技术上。点簧就是在簧片某些位
置上或多或少的点蜡或锡，以便调整其音高。从曾 1 点簧金属簧片的振动方程及边界条件
侯乙墓出土的战国初年的笙来看，古人通过实践已
1.1 振动方程
经掌握了娴熟的点簧技术，虽然他们并未清楚其中
的物理原理 [1] 。簧片的基频，即第一阶固有频率，决 对实际模型进行抽象：(1)由于簧片形状较为狭

定簧片振动发声的音高，而各阶共振频率决定其音 长，点簧区域尺度相较于簧片宽度相近而相较于簧
色。因此簧片的点簧工艺中，点簧的位置及质量的 片长度方向很小，因此点簧物质可抽象为簧片上的
大小等因素对簧片的固有频率有重要影响，这也是 集中质量负载；(2)考虑到金属簧片厚度相对于长度
中国传统乐器制作家通过大量实践沉淀得到的关 很薄，由振动理论可知，波长远大于厚度，且截面面
键技艺 [4] 。然而遗憾的是，到目前为止，点簧过程是 积沿长度方向变化，因此，采用集中质量负载的变截
精通制笙匠人通过大量的实践经验进行调整，极少 面 Bernoulli-Euler 梁模型描述点簧金属簧片的振
专门的定量分析点簧簧片振动问题。因此，研究点 动。振动方程为
簧簧片振动规律对科学认识及制作、复原笙等中国 ∂ 2 [ ∂ 2 ] ∂ 2
EI(x) η(x, t) + m 0 δ(x − x 0 ) η(x, t)
传统簧管类乐器具有实际意义。 ∂x 2 ∂x 2 ∂t 2
一般地，簧片近似瘦长的楔形，厚度远小于其 + ρA(x) ∂ 2 η(x, t) = 0, (1)
长度，其截面面积沿长度方向变小。簧片的振动可 ∂t 2
近似为非均匀截面的悬臂梁振动问题 [5] 。对于非均 式 (1) 中，E 为杨氏模量，I(x) 是沿着 x 轴变化的转
匀梁的振动问题一直以来都受到了广泛关注 [6−8] 。 动惯量，δ(x) 为狄拉克函数，m 0 δ(x − x 0 ) 表示在 x 0
当考虑到经过点簧处理后，簧片的质量存在突变，需 位置有一集中质量，A(x)为梁在x位置的横截面积，
要将点簧后的金属簧片建模为具有质量负载的非 ρ为密度。
均匀梁振动模型。此模型类似在桥梁动力学中具有 设方程解的形式为 η(x, t) = u(x)T(t)，分离
质量负载的非均匀梁振动模型，对此闫维明等 [9] 基 变量得
于 Bernoulli-Euler 梁理论建立了带任意附加质量 ∂ 2 T(t) + ω T(t) = 0, (2)
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的变截面弹性支承梁动力特性的简化计算模型，该 ∂t 2 [ ]
∂ 2 ∂ 2
2
模型能够将梁的变系数微分方程转化为线性代数 EI(x) u(x) − ω ρA(x)u(x)
∂x 2 ∂x 2
方程组的形式，进而求得解析解。然而，从数学的角
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− ω m 0 δ(x − x 0 )u(x) = 0, (3)
度看，非均匀截面梁的振动通常为复杂的变系数微
分方程形式，其中仅有个别结构是可以获得振动方 式(3)中，ω 为该方程的固有角频率。
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