Page 124 - 《应用声学》2021年第3期

442 2021 年 5 月

j/ j/n
j/ d 
d  d n

p 1u v 1u p 2u v 2u p nu v nu
p 1 in p 1 out p 2 in p 2 out p n in p n out
l n
D l  l 
v 1 in v 1 out v 2 in p 2 out v n in v n out
p 1d v 1d p 2d p 2d p nd v nd

x
 x  x n

图 2 串联排布的半波长管示意图
Fig. 2 Schematic diagram of half wavelength tube in series arrangement

式 (2) 中，k = ω/c 0 为波数，ω 为角频率，ρ 0 和 c 0 分  ρ 0 c 0   
cos kx j i sin kx j p (j+1) in
别为空气密度与声速，A j 和 l j 为第 j 个子系统中分  S j out    . (8)


i S j out v (j+1) in
支管的面积与管长，下标 “ju” 和“jd” 分别为第 j 个 ρ 0 c 0 sin kx j cos kx j
子系统中分支管的上游与下游端口。
图2 所示的整体管道系统由 n 个子系统通过相
在上述的子系统中，在主管与分支管的连接处，
应的主管连接组合而成，为此可以通过如下传递关
即分支管的上下游端口，由压力和体积速度连续条
系式将整个系统进出口的声压 p 和体积速度 v 可以
件可得
表示为
p j in = p ju = p j out = p jd , (3)    
p 1 in p n out
v j in + v jd = v j out + v ju . (4)   = [T ]  
v 1 in v n out
从式(2)和式(3)可得  
[
]
−ip j in A j (1 − cos kl j ) = [T l1 ] [T x1 ] [T l2 ] [T x2 ] · · · T x(n−1) [T ln ]  p n out 
v jd = . (5)
ρ 0 c 0 sin kl j v n out
将式(5)和式(1)代入式(2)可得    
A B p n out
ip j in A j (1 − cos kl j ) =     , (9)
v ju = . (6) C D v n out
ρ 0 c 0 sin kl j
由式 (1) ∼ 式 (6) 可得传递矩阵 [T lj ] 的所有四 式 (9) 中，[T ] 为整个系统总传递矩阵，A、B、C 和
极参数的表达式，即 D 为总传递矩阵的四极参数，[T l1 ]、[T l2 ] 和 [T ln ] 为
 
  子系统传递矩阵 ([T lj ]，其中 j = 1, 2, · · · , n)，[T x1 ]、
1 0
T 11 T 12 [ ]
[T lj ] =   =  2iA j (1 − cos kl j )  . [T x2 ] 和 T x(n−1) 为对应的相邻子系统间的传递矩


1
T 21 T 22
ρ 0 c 0 sin kl j 阵 ([T xj ]，其中 j = 1, 2, · · · , n − 1)。从而整个系统
(7) 的传声损失表达式可以由四级参数定义为 [14]
对于图 2 任意第 j 个子系统的进出口状态变量 ( )
1
TL=20 lg A+B S n out +C ρ 0 c 0 + D S n out .
的传递关系可以通过式 (7) 表示，为了进一步得到 2 ρ 0 c 0 S 1 in S 1 in
整体管道系统的传声损失，只需要将各个子系统串 (10)
联，则任意第 j 个子系统与第 (j + 1) 个子系统间状
当已知分支管管数量和参数时，通过上述推导
态变量的传递关系可以表示为
    过程，可以得到四极参数 A、B、C 和D，将所得四极
p j out p (j+1) in 参数代入式 (10) 可以得出任意数量分支管串联模
  = [T xj ]   =
v j out v (j+1) in 型的传声损失。