Page 161 - 《应用声学》2021年第4期

第 40 卷 第 4 期 朱翔等： 基于射线模型的超声声速层析算法研究进展 645

2.3.2 代数迭代算法 合，可以兼顾 Tikhonov 正则的噪声抑制性能和 TV
求解式 (8) 最简单的方法是利用 X 射线 CT 中 正则的图像边界信息保持功能。
代数迭代算法(Algebraic reconstruction technique,
2.3.4 统计迭代算法
ART) 对每条声波射线经过的网格慢度进行校
迭代方法中另一类重建算法是基于统计思想
正 [30] 。可以表示为
的图像重建方法。将整个超声换能器接收到的声
 
m
∑ 波数据看成满足一定条件的统计分布，可以将重
 p i − a ij s k j 
j=1 建问题转化为由随机变量到达时间数据估计图像
k
s k+1 = s + a ij , (10)
j j m
∑ 2 慢度分布的问题。其中极大似然估计 (Maximum
a
ij likelihood, ML) 是一种运用比较广泛的算法，通过
j=1
期望最大化方法 (Expectation maximization, EM)
式 (10) 中，s 为第 j 个网格在第 k 次迭代时的慢度，
k
j
p i 为第 i 条射线的到达时间，a ij 为射线经过网格的 求解极大似然模型，再通过迭代过程求解最终解。
其中，迭代公式可以表示为 [63]
长度信息，m 为网格总数目。由于实际超声换能器
∑
a ij
阵元数目较多，系统中的声波射线数目庞大，式 (10) ∑ p i
a il s k
所表示迭代过程相对较慢。Li 等 [24] 和 Denis 等 [46] i l
k+1 l k
s = s , (13)
采用联合代数迭代算法(Simultaneous algebraic re- j ∑ j
a ij
construction technique, SART) 加速传统代数迭代 i
算法，将每一个投影角度下的射线视为一组，可以提 k+1 为第j 个网格第k + 1次迭代的慢度
式(13)中，s
j
高重建速度。 值，p i 为第i条声波射线的第一到达时间，a ij 为射线
2.3.3 正则化迭代算法 经过网格的长度信息。Merčep 等 [64] 和 Perez-Liva
等 [31] 基于 ML-EM 算法利用每一对发射接收阵元
将基于弯曲射线模型的离散矩阵方程式 (9) 改
写为最小二乘形式，可以构建出非线性目标方程： 的投影数据校正上一次的慢度分布，可以得到更新
的慢度空间分布。在噪声比较大时，ML-EM方法直
1 2
U(s) = arg min ∥As − p∥ . (11) [64]
s 2 2 接迭代求解会出现不稳定性。由此，Merčep 等
式 (11) 中，U(s) 为关于慢度 s 的目标方程，寻找合 在ML-EM算法迭代过程中加入了基于中值的先验
适的慢度分布使得最小二乘目标方程取得最小。最 信息，最后形成后验分布即贝叶斯表达式。该思想
常用的解法是高斯牛顿法 [59] ，可以不断迭代更新慢 类似于在最小二乘方程中添加正则约束。此外，Ali
度值 s。但通常系数矩阵 A 为稀疏矩阵并且具有很 等 [65] 通过贝叶斯表达式加入了图像的先验信息，
大的条件数，使得原目标方程具有病态性。当噪声 最终可以得到慢度的迭代模型，进而求解声速的空
增加时，将会引起重建结果的不稳定。针对该问题， 间分布。先验信息的引入可以加速重建过程的收敛
可以通过添加正则化约束改善问题的病态，稳定解 速度，稳定解空间。
空间。由此，目标方程可以改写为

1 2 3 结论与展望
U(s) = arg min ∥As − p∥ + λR(s), (12)
s 2 2
式 (12) 中，R(s) 为正则函数；λ 为正则参数，主要用 本文综述了基于射线模型的超声层析成像中
于调节正则项的权重。Hormati 等 [60] 采用稀疏正 声速重建算法最新研究进展，总结了直线和弯曲射
则函数来表示 R(s)，可以有效降低重建图像的背景 线的前向模型，讨论了声波第一到达时间提取的不
噪声。Li 等 [32] 于 2009 年将 TV 正则约束应用于超 同算法。此外，综述了图像重建反问题数学模型的
声声速层析重建中，并与Tikhonov正则约束重建结 建立和求解方法，主要包括基于直线模型的滤波反
果进行了比较，得到 TV 正则约束可以保持图像边 投影重建和基于弯曲射线模型的迭代重建。基于弯
界信息的结论。Intrator [61] 和Huang等 [62] 针对TV 曲射线模型的迭代重建中主要讨论了代数迭代算
正则和 Tikhonov 正则各自的优势，将两者进行融 法、正则化迭代算法和统计迭代算法。为了解决数