Page 110 - 《应用声学》2021年第6期

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全透射和全反射，总的传播路径长度为2h，h为超表 2 反射五模声学超表面尺寸设计
面法向厚度，相位积累为
超表面尺寸设计应考虑物理实现的可能性。对
Φ(x) = 2hk, (3) 于超表面法向厚度h，至少应小于最小入射波长，且

式 (3) 中，k = 2π/λ，k 和 λ 分别为超表面中的声波 希望 h 越小越实用；对于超表面切向长度 L，从扩大
波数和波长。对于五模材料，波长 λ 和声速 c 有关， 有效工作频率范围的角度考虑，L 越长越好。然而，
λ = c/f 0 。入射波频率 f 0 = c 0 /λ 0 (c 0 为入射介质 根据式 (7)，厚度 h 越小或者长度 L 越大，超表面物
声速)。将上述关系式代入式 (2) 和式 (3)，对于垂直 性参数梯度越大，物理实现难度越大。超表面切向
入射至超表面的声波，其反射角θ r 为 长度两端的物性参数最难实现，假设可物理实现的
d(c(x) −1 ) 密度范围为 [ρ a , ρ b ]，依据式 (7)，厚度 h 和长度 L 应
sin θ r = 2hc 0 , (4)
dx 满足式(9)：
式 (4) 表明，五模超表面的反射角 θ r 只与声速梯度 L sin θ r 6 (ρ b − ρ a )/ρ 0 . (9)
2h
−1
d(c(x) )/dx 分布有关，而与入射波频率无关，因
同时为保证有效波控，根据采样定理，长度L需满足
此，五模超表面具有宽频带特性。
L > 2λ 0 , (10)
声波全部透射至超表面内部，超表面与入射介
质需满足特性阻抗匹配 [13] ，即 式(10)中，λ 0 为最大入射波长。
z = z 0 , (5) 3 五模超表面定向反射声学特性仿真

式 (5) 中，z 和 z 0 分别为超表面和介质的特性阻抗。
以水下垂直入射的平面声波为背景场，仿真模
有z = ρc，z 0 = ρ 0 c 0 ，ρ和ρ 0 分别为超表面和入射介
拟了五模超表面的定向反射性能。分别模拟了15 、
◦
质的密度。代入式(5)得
30 和45 三种反射角度的调控，超表面的法向厚度
◦
◦
c 0 /c(x) = ρ(x)/ρ 0 . (6) 为0.1 m，长度为2 m，入射波频率在1000 ∼ 6000 Hz
这说明调控声速的同时，密度需要以相反方向变化 范围内变化。
才能实现阻抗匹配。天然材料的密度和声速一般同 超表面下层铺设背衬板，背衬板为钢板以模拟
趋势变化，在声速变化的情况下，无法保证阻抗不 刚性边界，声波进入超表面后，在下层表面发生反
变。因此，要满足全透射的存在条件，只有人工材料 射。仿真声场边界为完美边界层用来模拟无限大空
才能实现。 间声场，采用自由三角形网格划分模型，最大网格尺
将式 (6) 代入式 (4)，可得反射五模声超表面的 寸为入射波长的1/6。
理想密度分布为 理想五模超表面的密度与体积模量分别由
( ) 式 (7) 和式 (8) 计算得到。然而，连续物性参数的实
1
ρ(x) = sin(θ r )x + C 0 ρ 0 , 0 6 x 6 L, (7) [14]
2h 现受制备工艺等限制，张向东等 在五模材料声
式 (7) 中，L 为超表面长度；C 0 为积分常数，理论上 学隐身衣的设计中采用了离散的思想，将声学隐身
其取值不影响波控能力，但会影响五模材料物性参 衣分层设计来近似实现连续物性参数。本文将超表
数的物理实现。 面沿长度方向离散为 n 个单胞，每个单胞的密度由
对于各向同性材料，超表面体积模量 K 0 和入 该单胞形心位置处的密度来表征 (如图2 所示)。
射介质体积模量K 0 满足 表1 ∼ 表3 分别列出了调控 3 种反射角的离散
超表面的声速和密度。可以看出，要实现异常反射，
K(x)/K 0 = ρ 0 /ρ(x). (8)
对材料参数要求非常苛刻，即要求材料有大的声速
式 (7) 和式 (8) 为反射五模超表面的连续密度分布 而小的密度，或者小的声速而大的密度，尤其是超表
和体积模量分布，密度 ρ 和体积模量 K 为空间位置 面两端的物性参数从物理实现上是最困难的。对比
x 的线性函数。以式 (7) 和式 (8) 为依据，设计合适 反射角为 15 、30 与 45 的物性参数，45 反射角的
◦
◦
◦
◦
的五模周期性单胞，获得离散等效密度和等效体积 物性参数范围是最宽的，这是由于调控角度越大，物
模量，实现超表面所需的物性参数分布。 性参数梯度越大，这与式(7) 的理论结果一致。