Page 18 - 《应用声学》2022年第1期

14 2022 年 1 月

量。Ξ P (r 0 , k) 是与不同展开中心展开球谐波系数 1.2 广义逆波束形成
之间的转换矩阵 T 及阵元指向性系数 c(θ, ϕ) 有关 广义逆波束形成可以归类为逆方法，因为它需
的矩阵，Ψ(k)可由Ξ P (r 0 , k) 表示 [20] ，即： 要对声源-传声器间的传播问题进行反演，可以建模
Ξ P (r 0 , k) = [T (r 0 −r 1 , k)c 1 , · · · , T (r 0 −r Q , k)c Q ] 为 [22]
∈ C P ×Q , (2)
Aq = p, (9)
Ψ(k) = Ξ P (r 0 , k) Ξ P (r 0 , k) ∈ C Q×Q , (3)
∗
其中，A ∈ C Q×N ，q ∈ C N×1 ，p ∈ C Q×1 ，N 为扫描
其中，(·) 表示复共轭转置。
∗
网络格点数。由于一般情况下 Q ≪ N，则问题转化
考虑幅度为 S(w) 的单频平面波从 (θ 0 , ϕ 0 ) 方
为求欠定方程的解。本文采用一范数及二范数两种
向入射，则在 r 处的频域观测信号的球谐波展开
方法来求解。
为 [21]
x(r, k) = S(w)e ik·r 1.2.1 L1范数广义逆波束形成
∞ n L1范数的广义逆波束形成(L1-Generalized in-
∑ ∑ n
= S(w) 4πi j n (kr)
verse beamforming, L1-GIBF) 算法是用压缩感知
n=−∞ m=−n
m
m
∗
× [Y (θ 0 , ϕ 0 )] Y (θ, ϕ) , (4) (Compressive sensing, CS) 来对稀疏的噪声源进行
n
n
声成像的算法 [23] 。CS 为求解欠定问题 Aq = p 提
其中，波矢 k = (k, θ 0 , ϕ 0 )，j (kr) 为 n 阶球贝塞尔
n
函数，Y (θ, ϕ) 为球谐波函数。由于任意三维声场 供了一种解决方案，其中测量矩阵 p、声源振幅 q
m
n
x(r, k)可以表示为球谐波展开的形式： 和线性传递矩阵 A (即 CS 中的感知矩阵) 分别为
∞ n Q × 1 的向量、N × 1 的向量以及 Q × N 维矩阵，其
∑ ∑
m
m
x(r, k)= α (r 0 , k)φ (r − r 0 , k), (5) 中 Q 为组成传声器阵列的阵元数，N 为格点数，且
n
n
n=−∞ m=−n
m
m
其中，α 为球谐波系数，基函数定义为 φ (r, k) = 一般情况下 Q ≪ N。阵元处声信号可以由向量和
n
n
√ 矩阵形式表示为
4πj n (kr)Y (θ, ϕ)，则由公式 (4)、公式 (5) 可得到
m
n
N
若是 D 个平面波入射时，声场中的球谐波系数具有 ∑
p = Aq + ε = a n q n + ε, (10)
如下形式： n=1
D
√ ∑ 其中，ε 是由电噪声、实验误差、测量数据与模拟声
m
m
∗
α (r 0 , k) = 4πi n S d (ω) [Y (θ d , ϕ d )] , (6)
n n
d=0 压不匹配等引起的误差。A 的列向量 a n 等价于球
其中，S d (ω) 和 (θ d , ϕ d ) 分别为 dth 平面波的幅度和 面波束形成的导向矢量。由于 Q 远小于 N，导致求
入射方向。 解x 的欠定问题没有唯一解。由于声源位于特定的
根 据 球 谐 波 函 数 的 正 交 性， 定 义 滤 波 器 局部区域内，因此解决不适定问题的一种可行方法
h(θ, ϕ) ∈ C ，令滤波器系数为 是将稀疏度放在 x上。则可将求解式 (10) 转化为约
∞
i −n
m ∗ m
[h ] = √ Y (θ, ϕ) , (7) 束问题：
n
n
4π
则该滤波器输出为 min ∥q∥ 0 subject to ∥p − Aq∥ 6 ε. (11)
x∈C N 2
y(θ, ϕ) = h(θ, ϕ) α(r 0 , k)
∗
但是L0范数的最小化问题是一个非凸问题，在
∞ n D
∑ ∑ ∑ 计算上难度较大。当有足够稀疏的声源时，公式 (11)
m
m
∗
= S d (ω) [Y (θ d , ϕ d )] Y (θ, ϕ)
n n
n=−∞ m=−n d=0 等价于L1范数的最小化问题，则可以转化为凸优化
D 问题从而有效地实现计算处理。又由于 q 中的一个
∑
= S d (ω) δ (cos θ − cos θ d ) δ (ϕ − ϕ d ). (8)
元素乘以具有较大欧氏范数的 A中的一列，在计算
d=0
可以看出，该滤波器具有理想的空间选择特性。 L1 范数最小化问题时趋向于一个非零解。为了防
因此通过改变滤波器的扫描角度则可得到方位谱 止这种偏差，将阵元处测量数据 p 和 a n 分别按照
的估计值，从而确定信号的入射角度。 欧几里得范数进行归一化。基于以上可得到