Page 162 - 《应用声学》2022年第3期

484 2022 年 5 月

弹性体周围的水中声场p满足理想流体中的波 则是对应的傅里叶展开系数，J 0 是零阶贝塞尔函数，
动方程： J 1 是一阶贝塞尔函数，H 0 是零阶汉克尔函数。需要
2
1 ∂ p 特别指出的是在轴对称假设下，矢量势只需要考虑
2
∇ p = , (9)
2
c ∂t 2 e θ 分量 ψ θ 。已知镶嵌聚氨酯泡沫共鸣器模型的声
0
其中，c 0 是水的声速。因为Laplace算子在柱坐标系 场形式以后，接下来便可根据模型的边界条件，建立
下的形式为 起各展开系数之间的方程。通过求解这些未知系数
∂ 1 ∂ 1 ∂ 2 ∂ 2 来获得模型的声场分布，进而实现计算共鸣器共振
2
∇ = + + + , (10)
2
∂r 2 r ∂r r ∂θ 2 ∂z 2
频率的目的。
而当 Laplace 算子在柱坐标系下作用于一个矢量 F
共鸣器声场模型的边界条件考虑了声波在不
时有
同媒质之间界面上的反射、折射与透射，结合图 2 镶
( )
2
2
∇ F = ∇ F r − F r − 2 ∂F θ e r 嵌聚氨酯泡沫共鸣器的结构特点，本文将涉及到的
r 2 r 2 ∂θ
边界条件整理归纳成表3。根据表 3，只需要将边界
( )
2 F θ 2 ∂F r 2
+ ∇ F θ − + e θ +∇ F z e z , (11)
2
r 2 r ∂θ 条件逐一代入声场函数表达式就可以列出各个系
利用 Laplace 算子对式 (7)、式(8)、式 (9) 展开，应用 数之间的方程组，然后进行联立求解即可。注意在
积分变换法，代入边界条件即可求解声场 [16−17] 。忽 求解声场展开系数的超定方程组时需要用到对角
略时间因子 e −jωt 并假定腔体声场呈轴对称分布， 加载奇异值分解方法 [18] 提高数值稳定性。
在 z 轴方向上对声场做傅里叶展开，则聚氨酯泡沫
表 3 边界条件
弹性棒的纵波、横波及其周围水中的声场可以整理
Table 3 Boundary conditions
为以下积分形式
∫
+∞
Φ = A (k z )J 0 (k Lr r) e j(k z z+k Lr a) dk z , (12) 位置 边界条件描述
−∞ r = a 法向位移连续；切应力为 0；法向应力连续
∫
+∞
ψ θ = E (k z )J 1 (k T r r) e j(k z z+k T r a) dk z , (13) r = b 法向位移为 0
−∞ z = 0, 0 6 r 6 a 轴向位移与径向位移为 0
∫ [
+∞
p = B (k z ) J 0 (k r r) e jk r b z = 0, a 6 r 6 b 法向位移为 0
−∞ z = h 切应力为 0，声压均匀为 1
]
C (k z ) (1) jk z z
+ H 0 (k r r) e dk z , (14)
H (1) (k r a) 对于理论模型而言，假定镶嵌聚氨酯泡沫共鸣
0
√ √
2
2
2
2
2
2
其中，k Lr = ω /c − k ，k T r = ω /c − k ， 器开口处的声压是均匀的，则该处质点振速分布
L z T z
√ 2
2
2
k r = ω /c − k ，A(k z )、E(k z )、B(k z ) 和 C(k z ) v(r)的形式可以写为
0 z
 ∫
+∞
[ ]
 ωk z J 0 (k Lr r) e jk Lr a A (k z ) − jωk T r J 0 (k T r r) e jk T r a E (k z ) e jk z h
 dk z , 0 < r < a,


−∞
v (r) = [ ] (15)
∫
+∞ (1)
 k z k z H (k r r)
 jk r b 0 jk z h
 J 0 (k r r) e B (k z ) + C (k z ) e dk z , a < r < b,
 (1)
ρ 0 ω ρ 0 ω H
−∞ (k r a)
0
其中，ρ 0 表示的是水的密度。此时质点振速分布与 当共鸣器发生共振时，声阻抗率的虚部为零，
径向位置有关，对其取平均就可以得到共鸣器开口 也就是说声阻抗率虚部为零时所对应的频率值即
处的平均质点振速： 为共鸣器的共振频率。
∫ b
1
¯ v = 2πv (r)rdr. (16)
πb 2 0 2.2 声场模型的简化检验
如果在边界条件中设定开口处的声压为 1，则 为了确保镶嵌聚氨酯泡沫共鸣器理论模型的
声阻抗率可以写为 正确性，有必要对结构中的声场模型进行简化检验，
Z s = −1/¯v. (17) 所谓简化就是在建模过程用到的近似处理。如果镶