Page 7 - 《应用声学》2022年第3期

第 41 卷 第 3 期 孙雪聪等： 基于遗传算法的五模材料分层优化 329

单元示意图。五模材料单元的基材一般采用硬 可以得到该单元的等效弹性张量近似为
质金属，如铝合金、钛合金等，六边形内部的  
空白填充空气。图 1(a) 中的五模材料微结构基  0.698 0.504 0 


材为铝合金，杨氏模量为 E s = 69 GPa，泊松 C PM =  0.504 0.364 0  B, (5)
 
3
比为 σ = 0.33，密度为 ρ s = 2700 kg/m ，单元 0 0 0.0035
的几何参数为 l = h = 5 mm，w = 2.38 mm，
其中，B = 2.25 GPa是水的体模量。结合图 1(b) 中
s = 3.50 mm，t = 0.25 mm，因此单元的等效
3
密度为 ρ eff = 1263.48 kg/m 。图 1(a) 中的五模材 的频散曲线和等效弹性张量C PM ，不难发现五模材
料的频散曲线如图 1(b) 所示，其中橘黄色曲线 料的剪切模量远小于压缩模量，因此在很宽频率范
代表结构的剪切模态，绿色曲线代表结构的压 围内结构中只存在压缩模态，表现出近似流体的声
缩模态。根据图 1(b) 中的能带可以计算出微结 学特性。等效压缩模量表现出各向异性的特征，这
构压缩模态的等效声速分别为 c x = 805.34 m/s， 是因为该结构所选取的质量块对称性较低，可以通
c y = 1115.21 m/s，剪切模态的等效声速分别为 过调节结构单元水平边和斜边的长度比h/l 和拓扑
c sx = 86.34 m/s，c sy = 73.35 m/s。因此，通过计算 角β 来改变各向异性程度 [21] 。


Κ

Γ M


h
ԍ᎖വগ
l s 
β f/kHz
t 
w
 ҝѭ
വগ



M Γ Κ M
k/m -1
(a) ̄፥̋വెநॲፇ౞ᇨਓڏ (b) ̄፥̋വెநᑟࣜ
图 1 二维五模材料微结构和能带
Fig. 1 The unit cell and band diagram of pentamode materials

通过以上分析可知，五模材料微结构的等效参 r,

 r > b,

数能够很好地描述五模材料微结构的性能，因此在
R = f(r), a < r < b, φ = θ. (6)
设计五模材料器件的过程中，常常先研究等效参数 


δ, r = a,

描述下五模材料器件的性能，在此基础上进一步探
由于虚拟空间和物理空间具有不同的拓扑属
究包含微结构的五模材料器件声学效果。
性，为了避免出现奇点，在虚拟空间的中心处挖半
2008 年，Norris 教授基于空间坐标变换提出了
径为 δ 的小洞，映射的边界条件应满足 b = f(b)、
基于五模材料的变换声学理论，为五模材料的器件 δ = f(a)。映射梯度F 在极坐标系下可以表示为
设计提供了理论基础。该理论建立了物理空间与虚 ( )
1/f (r) 0
′
拟空间的坐标变换关系，通过对隐身衣材料进行参 F = ,
0 r/f(r)
数设计，来操控声波绕过隐藏区域最终实现声隐身。
r
图 2(a) 为 二 维 环 形 五 模 材 料 的 虚 拟 空 间， J = det F = f (r)f(r) . (7)
′
图 2(b) 为其物理空间，灰色的背景区域均为相同 由于F 是对称张量，可令特征应力张量满足
的背景介质。虚拟空间和物理空间之间可以建立如 −1
S = J F . (8)
下映射关系：