Page 8 - 《应用声学》2022年第3期

330 2022 年 5 月

由于声波在两个空间遵从相同的物理定律，波动方
程具有相同的形式，结合坐标变换法则可以计算出
a
δ 隐身衣材料参数的表达式如公式(9)所示：
b
b
f(r)f (r)
′
ρ = ρ 0 ,
r
(Ρ, ϕ) (r, θ) f(r) rf (r)
′
K r = K 0 K θ = K 0 . (9)
′
(a) ᘿલቇᫎ Ω (b) ྭေቇᫎ ω rf (r) f(r)
图 2 五模材料坐标变换示意图 由式 (9) 可以看出，隐身衣的密度和模量分布
Fig. 2 Diagram of coordinate transformation of 取决于映射关系 f(r)。表 1 给出了常密度映射、常
pentamode material 模量映射和线性映射 3 种具有代表性的坐标变换映
假定整个虚拟空间和物理空间中隐身衣以外 射方式以及对应的参数分布。表中的密度ρ、径向模
的区域均分布着密度为 ρ 0 模量为 K 0 的声学介质， 量K r 、切向模量 K θ 均为与背景介质的密度 ρ 0 和模
隐身衣密度为 ρ，径向模量为 K r ，切向模量为 K θ 。 量K 0 的相对值 [21] 。

表 1 几种典型的映射关系
Table 1 Mapping relations

映射类型 映射表达式 材料参数分布
2
2
2
√ b − δ 2 b 2 ( a − δ 2 ) f (r) 1
常密度映射 f(r) = Ar + B, A = , B = − ρ = A, K r = , K θ =
2
2
2
b − a 2 b − a 2 Ar 2 K r
( ) A ( ) 2−2A
r ln(b/δ) b 1
常模量映射 f(r) = b , A = ρ = A , K r = , K θ = A
b ln(b/a) r A
b − δ b(a − δ) f(r) f(r) 1
线性映射 f(r) = Ar + B, A = , B = − ρ = A , K r = , K θ =
b − a b − a r Ar K r
2 基于遗传算法的五模材料分层优化 是简单的线性关系，这意味着隐身衣的分层方式会
对其最终的隐身效果造成一定的影响，传统的均匀
表1 给出了不同的映射方式对应的参数分布特
分层方式并不是最优的选择。因此，为了得到最佳
点，对于设计五模材料隐身衣具有很好的指导意
的隐身效果，本文以表 1 所示的线性映射为研究对
义。在利用表 1 所给出的参数设计隐身衣器件时，
象，对基于五模材料的声学隐身衣的分层方式进行
需要先对其进行分层。为了简单起见，本文仅考虑 了研究。
标准环形隐身衣的分层优化问题。对某一层而言， 考虑到五模材料的散射声压场求解过程十分
层内的密度与模量视为均匀分布。以起始半径和 复杂，不易抽象出明确的散射声压的解析表达式，传
终止半径的算术均值视为该层的参数半径，然后 统的基于梯度的优化算法并不适用，故引入遗传算
将其代入表 1 的线性映射关系中，则能够计算出该 法对五模材料进行分层优化，以提升隐身效果。遗
层对应的模量和密度。图 3(a) 为将二维五模材料 传算法是模拟生物在自然环境中的遗传和进化过
隐身衣分为 5 层后的结构示意图，其中隐藏空间的 程而形成的一种自适应全局优化概率搜索算法 [22] 。
半径 r 0 = 0.1 m，隐身衣的外径 r 5 = 0.5 m；由内 遗传算法最初是借鉴了进化生物学中的一些现象
到外每一层的终止半径分别为 r 1 、r 2 、r 3 、r 4 和 r 5 。 而发展起来的，这些现象包括自然选择 (Selection)、
图 3(b) ∼ (d) 分别为表 1 中 3 种映射关系下隐身衣 交叉 (Crossover) 以及变异 (Mutation) 等。遗传算
的密度、切向模量和径向模量随半径变化的对比 法是通过随机生成一组目标函数作为父代样本，经
图。由上述 3 幅图可知，无论是在常密度、常模量 过自然选择确定保留以及淘汰的个体，随后再进行
还是线性映射下，五模材料隐身衣的材料参数都是 杂交以及变异获得子代样本，与自然进化进程类似，
随半径连续变化的，且材料参数和半径之间并不都 子代个体比父代个体获得更好的适应性。