Page 92 - 《应用声学》2022年第3期

414 2022 年 5 月

๯ᒛ 为了分析复杂的不连续边界结构，本文将利用
᧛࡛ႃౝ
耦合模理论结合多物理场耦合的有限元方法对液

膜负载下的器件响应开展仿真研究。

1.1 COM理论
᧛࡛ૉ౎ˁԍ ๯ᒛˁԍႃ COM 模型为模拟和仿真不同结构的 SAW 器

ႃ۳अᄊ᣸ႍ ۳अᄊ᣸ႍ
件提供了有效的方法。忽略栅阵中传播损耗的影响，
ԍႃ۳अ COM方程可写为 [15]

dR
图 2 有液膜负载的结构图  = −jkR + jκS exp (−2jk 0 x)


 dx

Fig. 2 Structure diagram with liquid membrane load 


 + jαV exp (−jk 0 x) ,




首先对压电晶体中的声场进行分析，需要同时 
 dS

∗
 = −jκ R exp (2jk 0 x)
考虑力学作用和电学作用。在压电晶体中，不存在 dx (4)
∗
彻体力，一般是绝缘体，不存在自由电荷。此时，压  + jkS − jα V exp (jk 0 x) ,





电晶体内的耦合波动方程为 [13]  dI


∗
 = −2jα R exp (jk 0 x)
 
2 2 2  dx

 ∂ u i E ∂ u k ∂ Φ 
ρ − c ijkl − e kij = 0, 


 ∂t 2 ∂x l ∂x j ∂x k ∂x j  − 2jαS exp (−jk 0 x) + jωCV,
(1)
2 2
 ∂ Φ
 ∂ u k S 其中，R 和 S 分别表示右向、左向传播的平面波，V
 − ε = 0.
e jkl
jk
∂x l ∂x j ∂x k ∂x j
表示交变电压，I 表示交变电流，k 是 SAW 的波数，
E
式(1) 中，u、Φ、ρ 分别为位移、电势、密度，c 、e、ε S k 0 是声同步波数，κ表示耦合系数，α 表示激发系数，
分别为晶体的弹性劲度常数、压电应力常数、介电 C 是单位长度的静态电容。
常数，i, j, k, l = 1, 2, 3。 当 V =0 时， 叉 指 换 能 器 (Interdigital trans-
当边界条件是由金属指条与压电基底构成时，
ducer, IDT) 的电端短路，此时栅阵中无激发源，
金属指条或各向同性固体中的波动方程为
即相当于周期短路栅阵；当 I=0 时，IDT 的电端开
2 L
2 L
∂ u k L ∂ u i 路，此时栅阵中不存在电流，即相当于周期开路栅
L
c = ρ . (2)
ijkl 2
∂x l ∂x j ∂t
阵。根据文献 [9] 可知，通过周期短路栅阵和周期开
当边界条件是由液膜与压电基底构成时，液膜
路栅阵的禁带边界频率可以直接推导出 COM 参量
中的波动方程需要考虑黏滞作用。根据纳维 -斯托
(中心频率f 0 (或传播速度v)、耦合系数κ、激发系数
克斯 (N-S) 方程，当液体的黏滞系数 µ 为常数时，液
α 和静态电容C)的解析表达式：
膜中的波动方程为 [7,14]

f s+ + f s−
2 l
2 l
∂ u ∂ u 2 ∂ f 0 = ,

i l k l  2
ρ l 2 = c ijkl − µjw (∇ · u ) 

∂ t ∂x l ∂x k 3 ∂x i 


 f s+ + f s−
( ∂u l ∂ )  ,

v = λ 0 · f 0 = λ 0
l
+ µjw i + (∇ · u ) ,  2
∂x j ∂x j ∂x i (5)

 f s+ − f s− ,
|κ|λ 0 = 2π

i, j, k, l = 1, 2, 3, (3) 
 f s+ + f s−


 ( )

l
式(2)中，u 、ρ l 分别表示位移和液体密度，c l 为弹  f o+ − f o−

ijkl  |α| = ωCλ 0 π − 1 .
性劲度常数，∇ · u 是位移的散度，µ为黏滞系数。 f s+ + f s−
l
其中，任何结构下介质中声波的准确求解都需 当在 Al 电极上施加交变电压∆V 时，归一化静态电
要从波动方程出发，得到 Christoffel 方程来求解得 容C n 为
到满足特定边界条件的声波解。由上述 3 个式子可 Cλ W e
C n = = , (6)
2
以看出，不同性质负载 (固体、液体) 的波动方程不 W (∆V ) W
同，引起的边界条件也会有所差别。 其中，W 为声孔径。