Page 97 - 《应用声学》2022年第4期

第 41 卷 第 4 期 石志奇等： Hudson 模型适用性及储层微观建模应用 595

λ, µ 为各向同性背景基质的弹性模量。U kl 为散射 场快照如图 1 所示。对于干燥裂缝，随着裂缝密度
算子，与裂缝本身的连通状态和充填状态有关。对 增大，准纵波和准 SV波的各向异性逐渐增强，当裂
于孤立的干燥裂缝， 缝密度大于 0.1 时，一阶模型和二阶模型的波场快
 16(λ + 2µ) 照差异变得明显，主要体现在一阶模型波场的各向
 ¯ ¯ ,
U 11 = U 22 =
3(3λ + 4µ) 异性明显强于二阶模型，表明裂缝之间的相互作用

(4)
4(λ + 2µ)
 有降低准纵波、准SV波各向异性强度的作用。当裂
 ¯ .
U 33 =
3(λ + µ) 缝密度为 0.2时，一阶模型波场快照出现畸变。同时
1.2 各向异性参数 随着裂缝密度增大，准SV波能量增强。
为了解裂缝存在而对各向异性特征的影响，本
表 1 裂缝介质模型参数取值
文利用 Thomsen [17] 提出的 3 个无量纲的各向异性
Table 1 Parameters for the fracture
参数对裂缝诱导各向异性进行表征，Thomsen 系数
medium model
将物理意义不直观的弹性常数进行组合，简化了相
速度公式的表达式，参数表达式为 组成 背景基质 水 天然气

c 11 − c 33 −1
ε = , 纵波速度/(m·s ) 5800 1500 447


 2c 33

 横波速度/(m·s −1 ) 3349 0 0

 c 66 − c 44
γ = , (5) 密度/(kg·m −3 ) 2600 1000 0.65
2c 44


 2 2
 体积模量/GPa 87.46 2.25 0.00013
 (c 13 + c 44 ) − (c 33 − c 44 )

δ = ,

2c 33 (c 33 − c 44 ) 剪切模量/GPa 29.16 0 0
其中，ε 表征纵波各向异性，γ 表征横波各向异性，δ
当裂缝饱含水时，Hudson 一阶模型和二阶模
为纵波与横波之间的过渡参数。在弱各向异性介质
√ 型在裂缝密度分别为0.05、0.1、0.15、0.2时的波场快
中，采用3个各向异性参数和纵波速度α = c 33 /ρ、
√ 照如图 2 所示。对于饱含水裂缝，随着裂缝密度增
横波速度 β = c 44 /ρ 便可将 3 种波的相速度表达
大，准纵波各向异性无明显变化，准 SV波的能量和
式简化为
各向异性逐渐增强。对比一阶和二阶模型的波场快

( 2 4 )
2
V P (θ) ≈ α 1 + δ sin θ cos θ + ε sin θ , 照，含水裂缝的一阶模型和二阶模型的波场快照无




 明显区别。
 ( 2 )
α 2 2
V SV (θ) ≈ β 1 + (ε − δ) sin θ cos θ , 对比图 1 和图 2 可以分析充填流体对波场传播
 β 2



 的影响。与干燥裂缝相比，裂缝含水时准纵波、准
 ( 2 )
V SH (θ) ≈ β 1 + γ sin θ .

SV波的能量比裂缝为干燥裂缝时弱，同时准纵波各
(6)
向异性减弱。
1.3 数值模拟分析 为进一步分析 Hudson 一阶模型和二阶模型波
为了解在干燥裂缝和含水裂缝两种情况下裂 场快照出现差异的原因，分别考虑裂缝密度和裂缝
缝密度和裂缝充填状况对 Hudson 一阶模型和二 倾角对弹性常数和各向异性参数的影响，为后期裂
阶模型的地震波传播特征影响，建立了一个裂缝 缝储层微观建模明确应用条件。
介质模型，x、z 方向网格数为 500×500，网格间距 由图 3(a) 可以看出，对于干燥裂缝，当裂缝密
∆x = ∆z = 2 m，震源采用集中力源，中心频率 度小于 0.1 时，一阶与二阶模型基本表现良好。当
60 Hz，位于模型中心位置。裂缝在模型中水平排列 裂缝密度大于 0.1 时，一阶模型和二阶模型的差异
分布，纵横比为 0.001，裂缝介质模型的背景基质和 逐渐增大，一阶模型在裂缝密度接近 0.2 时c 33 甚至
流体相关参数引自文献[18]，如表1 所示。采用有限 会出现负值。需要得到特别注意的是，虽然二阶模
差分数值模拟方法，模拟地震波在裂缝介质中的传 型在一定程度上扩展了裂缝密度的适用范围，但是
播，本文以0.1 s时的波场快照为例进行对比分析。 在裂缝密度较大时弹性系数随裂缝密度增大不减
当裂缝为干燥裂缝时，Hudson 一阶模型和二 反增，即二阶展开并不收敛，违背了物理规律，在
阶模型在裂缝密度分别为0.05、0.1、0.15、0.2时的波 这种情况下只使用一阶更正比不恰当地使用二阶