Page 46 - 《应用声学》2022年第5期
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减会影响二次谐波的激发和接收 [11−12] ，导致模型
0 引言
失效。Kanda 等 [13] 用多尺度法得到了均匀厚度板
板壳结构广泛用于机械、民用和航空航天等领 下的二次谐波衰减规律，但由于求解方程时将复
域。这些结构在时变载荷下由于疲劳产生的微裂 波数近似成实数，使得在衰减较大的情况下结果
纹会降低材料性能，进而引发断裂。因此，在材料 不准确。
早期疲劳时检测微裂纹对于避免工程部件和结构 为此，本文基于 Hu 等 [10] 的工作，完善了兰姆
的灾难性故障非常重要。非线性兰姆波可以长距 波二次谐波在变厚度板中传播的理论推导过程，使
离传输并检测整个板壳结构的内部缺陷，因此在 该理论适用于角度变化更大的变厚度板，并将理
超声无损检测和结构健康监测领域得到了广泛的 论的适用范围推广至黏弹性介质。通过半解析计
应用 [1−4] 。 算给出了 S0 模式在厚度保持均匀、线性增加、线
一些理论研究讨论了兰姆波二次谐波的产生 性减小、曲线变化下的二次谐波的累积和传播规
机制和效率。de Lima 等 [5] 和 Deng 等 [6−7] 使用二 律，并利用有限元方法对该理论的适用范围进行了
阶微扰近似和模态分析方法研究了兰姆波二次谐 分析。
波生成的复杂问题。由于兰姆波各个模式具有色
散特性，在基频波和二次谐波的波数不匹配时会 1 复数域的兰姆波频散曲线
产生拍频效应，二次谐波难以随传播距离增加而累
积。S0 模态在低频范围内的色散非常微弱，相比其 兰姆波是在固体板中传播的超声导波。由于波
他模态容易产生累积非线性效应。Zuo等 [8] 和Wan 导界面存在自由边界条件，纵波和横波在上下边界
等 [9] 分析了由 S0 模态产生的非线性兰姆波，测量 处相互转换，产生叠加和干涉，于是产生了一种与固
了一段传播距离范围内线性增加的 S0 模式的二次 体波导几何形状有关的超声导波模式。因此兰姆波
谐波。在某些场景下，变厚度板壳更接近实际工 具有多模式和色散特性。当考虑声波衰减时，兰姆
程结构。Hu等 [10] 基于对称兰姆波模式分析了缓慢 波的频散曲线对应的波数和相速度均是复数。本文
线性变厚板中非线性导波的理论模型的微扰法近 以应用广泛的有机玻璃 (PMMA) 作为算例，表 1 列
似解，并通过仿真模拟和实验对其进行了验证。然 出了 PMMA 材料的参数，包括密度、纵波和横波的
而，在测量长距离结构或黏弹性材料时，导波的衰 声速、对应的衰减系数 [14] 和三阶弹性常数 [15] 。
表 1 PMMA 的各项参数
Table 1 Parameters of PMMA
ρ/(kg·m −3 ) c l /(m·s −1 ) c t/(m·s −1 ) κ l /(Np·λ −1 ) κ t/(Np·λ −1 ) A/Pa B/Pa C/Pa
1185 2740 1400 0.021 0.033 −61 −3.5 −69.5
PMMA是一种黏弹性材料，声波在其中具有较
大的衰减。基于 Kelvin-Voight模型，其纵波速度和 2 等厚度板中的兰姆波二次谐波解析解
横波速度都是复数：
( )
非线性声波方程缺乏一般的研究方法，但在弱
1
′
c = c l ,
l
1 + iκ l /2π 非线性效应的情况下微扰法可以取得很好的近似。
(1)
( ) 微扰法的基本思想是把待求的物理量表示成收敛
1
′
c = c t ,
t 的级数。该级数中的主要项是完全可解问题的解，
1 + iκ t /2π
其虚部项表示声波的衰减。如图 1 所示，将复速度 而高阶项描述完全可解问题相比实际问题产生的
带入兰姆波的频散方程可以得到各个兰姆波模式 偏差。参照图 2 中的坐标，基于微扰法的思想，将兰
的频散曲线。由于考虑了声波的衰减，在给定频厚 姆波的位移写为基频项和二阶微扰项的和：
积下，兰姆波的任何模式都有负的速度虚部，因此传
播模式和非传播模式不再有明显的区分。 u(x, y, t) = u (1) (x, y, t) + u (2) (x, y, t), (2)
