Page 47 - 《应用声学》2022年第5期

第 41 卷 第 5 期 左炜翌等： 非线性兰姆波在厚度缓慢变化和衰减下的特性分析 723

3000 0
S0 S1 S0 S1
2500 -5
ᤴएࠄᦊ/(mSs -1 ) 2000 ᤴएᘿᦊ/(mSs -1 ) -10

-15
1500
1000

-25
500 -20
0 -30
0 500 1000 1500 2000 0 500 1000 1500 2000
ᮠԒሥ/(m·Hz) ᮠԒሥ/(m·Hz)
(a) ᤴएԩࠄᦊ (b) ᤴएԩᘿᦊ
图 1 兰姆波对称模式在复数域的频散曲线
Fig. 1 Dispersion curve of Lamb wave symmetric modes in complex domain

其中，需要满足 |u (2) | ≪ |u (1) |。兰姆波基频的位移 y
h
可以展开为各个模态的位移：
x
∑ (1) (1) i(k (1) x−ωt)
(1)
u (x, y, t) = A n ¯ u n (y) e n , (3) ֓h
n
图 2 等厚度的平板
(1)
(1)
其中，A n 为第 n 个模式的振幅， ¯ u n (y) 为单位振
Fig. 2 The uniform-thickness plate
幅下的位移场。在实际测量时，如果测量得到了兰
姆波模式n的表面振动位移u y (h)，则该模式的振幅 考虑三阶弹性常数时，兰姆波基频项将产生体
为A n = u y (h)/¯u y (h)。 积力f i 和表面应力σ ij ：
( ) ( )
(1,1) A A
f = µ + (u l,kk u l,i + u l,kk u i,l + 2u i,lk u l,k ) + λ + µ + + B (u l,ik u l,k + u k,lk u i,l )
i
4 4
( )
A 3
+ (λ + B)(u i,kk u l,l ) + + B (u k,lk u l,i + u k,ik u k,l ) + (B + 2C)(u k,ik u l,l ) + O(u ), (4)
i
4
( )
λ A B
(1,1)
σ = u k,l u k,l + Cu k,k u l,l δ ij + Bu k,k u j,i + u j,k u k,i +
ij (u k,l u k,l + u k,l u l,k )δ ij
2 4 2
( )
A 3
+ (λ + B)u k,k u i,j + µ + (u i,k u j,k + u k,i u k,j + u i,k u k,j ) + O(u ), (5)
i
4
其中，δ ij 表示克罗内克函数，下标表示爱因斯坦求 向量。将二倍频的兰姆波位移u (2) 同样展开为各个
和约定，上标 (1, 1) 表示体积力和表面应力是基频 模式的和：
波位移的二次型，因此频率是基频波频率的两倍。 (2) ∑ (2) (2) −i2ωt
u (x, y, t) = A n (x)¯ u n (y) e . (8)
将体积力作为外力，得到二倍频的有源声波方程： n
出于计算方便起见，二次谐波第 n 个模式的振幅
(λ + 2µ)∇(∇ · u (2) ) − µ∇ × (∇ × u (2) ) (2)
A n (x)包含了随传播距离x变化的相位项。
2
∂ u (2) (1,1) 在超声无损检测的实际应用中，由于高频兰姆
− ρ 0 = −f . (6)
∂t 2 波的激发和接收较为困难，通常使用低频S0模式作
同时在上下边界y = ±h处满足自由边界条件：
为激发非线性兰姆波的基频波，并同样接收二倍频
(σ (1,1) − σ (2) ) · n y = 0, (7) 的 S0 模式作为检测信号 [8−10] 。从图 1 的频散曲线
其中，σ (2) 是二次谐波在仅考虑二阶弹性系数(线性 可以看出，在频厚积较小的部分，S0 模式只有轻微
情况下) 产生的应力张量，n y 是沿 y 轴方向的单位 的色散。而其他模式和 S0 模式相速度严重不匹配，