Page 48 - 《应用声学》2022年第5期

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所以难以产生累积的二次谐波。因此本文接下来也 vol 1 ∫ h(x) (2) ∗ (1,1)
f (x) = − ¯ v 0 (x)f (x)dy. (17)
限定为 S0 模的基频波和二次谐波。将位移公式 (8) 2 −h(x)
带入有源声波方程(6)和边界条件(7)得到：
该方程具有解：
( d )
4P ¯ (2,2) − ik (2) A (2) (x) ∫ x [f surf (x) + f vol (x)]
0 0 0 (2) Θ(x)
dx A (x) = e
0 (2,2)
0 4P ¯ 0 (x)
(1)
= (f surf + f vol ) e i2k 0 x , (9) (1)
× e i2k 0 (x)x−Θ(x) dx. (18)
¯
其中，P (2,2) 为二次谐波在单位振幅下的复能流
0
密度： 其中包含二次谐波相位的累积项：
∫ h ∫ x
i(2ω) ( (2) (2) ∗ (2) ∗ (2) ) (2)
(2,2)
P ¯ = ¯ u ¯ σ − ¯u ¯ σ dy, (10) Θ(x) = ik (x)dx. (19)
0 j xj j xj 0
4
−h 0
上标 ‘*’表示复共轭，方程右边为基频波产生的外力 由于厚度变化 d(x) 的任意性，实际计算时需要借助
对二次谐波的功率贡献，其中： 图1中的频散曲线进行数值积分求解。
y=h
1
f surf = − ¯ v (2) ∗ σ (1,1) n x , (11) y
0
2
y=−h
∫ h h↼x↽
1 (2) ∗ (1,1)
vol
f = − ¯ v 0 f dy, (12)
2 x
−h
(2)
其中， ¯ v 表示二次谐波 S0 模式在单位振幅下的速
0 ֓h↼x↽
度矢量场。
图 3 厚度缓慢变化的板
方程(9)具有解析解 [5] ：
Fig. 3 The plate with slowly-varying thickness
(2)
A (x)
0 Hu等 [10] 运用了类似的方法，在角度为0.17°时
i(f surf + f vol ) [ i2k (1) x ik (2) x ]
= (2,2) (2) (1) e 0 − e 0 . (13) 完成了厚度线性变化板的实验验证工作。本文改进
4P ¯ (k − 2k )
0 0 0 了Hu 等 [10] 的推导过程，使理论适用于角度更大的
(2)
容易看出因为色散特性，振幅 |A 0 (x)| 保持有 变厚度板，并将理论的适用范围推广至黏弹性介质。
界并具有空间周期性，产生了拍频效应。空间周期
长度，又称为色散长度为
2π 4 算例和理论成立条件
L 0 = (2) (1) . (14)
Real(k − 2k )
0 0 本文在 4 种不同几何形状的板中设置 90 kHz
3 缓慢变厚度板的二次谐波方程 的 S0 模式兰姆波，使用式 (18) 进行数值积分求解，
并运用有限元方法 (Finite element method, FEM)
如图 3 所示，当板的厚度沿传播距离发生变化 进行仿真验证。有限元仿真使用显性动力学程序，
时，对应了图1 中兰姆波频厚积的变化，但是当厚度 使用高斯调制的20个周期正弦波作为激励信号。计
变化足够缓慢时，发生模式转换和反射的振幅可以 算结果如图4所示。
忽略不计，同时近似认为依然满足水平自由边界条 在图 4(a) 中，由于色散特性，兰姆波二次谐波
件。然而，式 (9) 中的相关物理量均会随传播距离 x 的传播产生了拍频效应，色散长度符合式(9)。不考
发生变化。因此式(9)需要改写为
虑声波衰减时，二次谐波的振幅经过色散长度的整
[ d ]
¯
4P (2,2) (x) − ik (2) (x) A (2) (x) 数倍后会归零。当考虑声波衰减或板的厚度缓慢变
0 0 0
dx
化的情况时，拍频效应将不再严格地被满足。二次
= [f surf (x) + f vol (x)] e i2k (1) (x)x , (15) 谐波的振幅依然会沿着传播距离而振荡，但在基频
0
其中： 能量消失前不会归零。如图 4(b)∼ 图 4(d) 所示，基
y=h(x) 于不同几何形状的板，二次谐波的振幅累积具有不
1 (2) ∗ (1,1)
surf
f (x)=− ¯ v 0 (x)σ (x)n x , (16)
2 同的特性。
y=−h(x)